El hombre que calculaba

                                                                                                                             Malba Tahan

DEDICATORIA

A la memoria de los siete grandes geómetras cristianos o agnósticos:

· Descartes

· Pascal

· Newton

· Leibniz

· Euler

· Lagrange

· Comte

…(¡Alah se compadezca de esos infieles!)

Y a la memoria del inolvidable matemático, astrónomo y filósofo musulmán Abuchafar Moahmed Abenmusa AL-KARISMI… (¡Alah lo tenga en su gloria!) Y también a todos los que estudian, enseñan o admiran la prodigiosa ciencia de las medidas, de las funciones, de los movimientos y de las fuerzas.

 

Yo “el-hadj” cherif Alí Iezid Izzy-Edin Ibn Salin Hank, MALBA TAHAN (creyente de Alah y de su santo profeta Mahoma), dedico estas páginas, sin valor, de leyenda y fantasía.

Bagdad, a 19 lunas de Ramadán en 1321

CAPÍTULO 1

En el cual encuentro, durante una excursión, un viajero singular.                        Qué hacía el viajero y cuáles eran las palabras que pronunciaba.

Cierta vez volvía, al paso lento de mi camello, por el camino de Bagdad, de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, en las márgenes del Tigris, cuando vi, sentado en una piedra, a un viajero modestamente vestido, que parecía reposar de las fatigas de algún viaje.

- Disponíame a dirigir al desconocido el “zalam”¹ trivial de los caminantes, cuando con gran sorpresa le vi levantarse y pronunciar lentamente: - Un millón cuatrocientos veintitrés mil, setecientos cuarenta y cinco.

Sentóse enseguida y quedó en silencio, la cabeza apoyada en las manos, como si estuviera absorto en profunda meditación.

Me paré a corta distancia y me puse a observarle como lo habría hecho frente a un monumento histórico de tiempos legendarios.

Momentos después se levantó, nuevamente, el hombre, y, con voz clara y pausada, enunció otro número igualmente fabuloso: - Dos millones, trescientos veintiún mil, ochocientos sesenta y seis. Y así, varias veces, el extravagante viajero, puesto de pie, decía un número de varios millones, sentándose en seguida en la tosca piedra del camino.

Sin saber refrenar la curiosidad que me aguijoneaba, me aproximé al desconocido, y después de saludarlo en nombre de Alah (con Él en la oración y en la gloria), le pregunté el significado de aquellos números que sólo podrían figurar en proporciones gigantescas.

¡Forastero!, respondió el “Hombre que calculaba”, no censuro la curiosidad que te llevó a perturbar la marcha de mis cálculos y la serenidad de mis pensamientos. Y, ya que supiste ser delicado al hablar y al pedir, voy a satisfacer tu deseo. Para eso necesito, sin embargo, contarte la historia de mi vida. Y narróme lo siguiente:

 

CAPÍTULO 2

En el cual Beremís Samir, el “Hombre que calculaba”, cuenta la historia de su vida.

Cómo fui informado de los prodigiosos cálculos que realizaba y por qué nos hicimos compañeros de viaje.

Me llamo Beremís Samir y nací en la pequeña aldea de Khoy, en Persia, a la sombra de la gran pirámide formada por el monte Ararat.

Siendo muy joven todavía, me empleé como pastor al servicio de un rico señor de Khamat³.

Todos los días, al salir el Sol, llevaba el gran rebaño al campo, debiendo ponerlo al abrigo, al atardecer. Por temor de extraviar alguna oveja y ser por tal negligencia castigado, contábalas varias veces durante el día. Fui, así, adquiriendo, poco a poco, tal habilidad para contar que, a veces, instantáneamente, calculaba sin error el rebaño entero. No contento con eso, pasé a ejercitarme contando además los pájaros cuando, en bandadas, volaban por el cielo. Volvíme habilísimo en ese arte. Al cabo de algunos meses –gracias a nuevos y constantes ejercicios-, contando hormigas y otros pequeños insectos, llegué a practicar la increíble proeza de contar todas las abejas de un enjambre. Esa hazaña de calculista nada valdría frente a las otras que más tarde practiqué. Mi generoso amo, que poseía, en dos o tres oasis distantes, grandes plantaciones de dátiles, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó de dirigir su venta, contándolos yo uno por uno en los cachos. Trabajé asía al pie de los datileros cerca de diez años. Contento con las ganancias que obtuvo, mi bondadoso patrón acaba de concederme algunos meses de descanso, y por eso voy ahora a Bagdad pues deseo visitar a algunos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de esa bella ciudad. Y para no perder el tiempo, me ejército durante el viaje, contando los árboles que dan sombra a la región, las flores que la perfuman y los pájaros que vuelan en el cielo, entre las nubes.

Y señalando una vieja y grande higuera que se erguía a poca distancia, prosiguió: - Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene, término medio, trescientas cuarenta y siete hojas, se deduce fácilmente que aquel árbol tendrá un total de noventa y ocho mil quinientas cuarenta y ocho hojas. ¿Qué le parece, amigo?

-             ¡Qué maravilla! –exclamé atónito-. ¡Es increíble que un hombre pueda contartodos los gajos de un árbol, y las flores de un jardín! Tal habilidad puede proporcionar a cualquier persona un medio seguro de ganar envidiables riquezas. - ¿Cómo es eso? –preguntó Beremís-, ¡Jamás pasó por mi imaginación que pudiera ganarse dinero contando los millones de hojas de los árboles o los enjambres de abejas! ¿Quién podría interesarse por el total de ramas de un árbol o por el número de pájaros que cruzan el cielo durante el día?

-    Vuestra admirable habilidad – expliqué- podría ser empleada en veinte mil casosdiferentes. En una gran capital como Constantinopla, o aún en Bagdad, seríais útiles auxiliar para el Gobierno. Podríais calcular poblaciones, ejércitos y rebaños. Fácil os sería evaluar las riquezas del país, el valor de las colectas, los impuestos, las mercaderías y todos los recursos del Estado. Yo os aseguro –por las relaciones que mantengo, pues soy bagdalí⁴, que no os sería difícil obtener una posición destacada junto al glorioso califa Al-Motacen (nuestro amo y señor). Podríais, tal vez, ejercer el cargo de visir – tesorero o desempeñar las funciones de Finanzas musulmanas⁵. - Si es así, joven – respondió el calculista- no dudo más, y os acompaño hacia Bagdad.

Y sin más preámbulo, se acomodó como pudo encima de mi camello (único que teníamos), rumbo a la ciudad gloriosa.

De ahí en adelante, ligados por ese encuentro casual en medio del agreste camino, nos hicimos compañeros y amigos inseparables.

Beremís era de genio alegre y comunicativo. Joven aún –pues no tendría veintiséis años-, estaba dotado de gran inteligencia y notable aptitud para la ciencia de los números⁶.

Formulaba, a veces, sobre los acontecimientos más banales de la vida, comparaciones inesperadas que denotaban gran agudeza de espíritu y verdadero talento matemático. Beremís también sabía contar historias y narrar episodios que ilustraban sus conversaciones, de por sí atrayentes y curiosas.

 

A veces pasábase varias horas, en hosco silencio, meditando sobre cálculos prodigiosos. En esas oportunidades me esforzaba por no perturbarlo, quedándome quieto, a fin de que pudiera hacer, con los recursos de su memoria privilegiada, nuevos descubrimientos en los misteriosos arcanos de la Matemática, ciencia que los árabes tanto cultivaron y engrandecieron.

 

CAPÍTULO 3

 Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres árabes. Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible, conformando plenamente a los tres querellantes.

La ganancia inesperada que obtuvimos con la transacción.

Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.

Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.

Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:

-  ¡No puede ser!

-  ¡Esto es un robo!

-  ¡No acepto!

El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.

-  Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?

-  Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer conjusticia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.

Traté en ese momento de intervenir en la conversación:

-  ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestroviaje si nos quedáramos sin nuestro camello?

-  No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Sé muybien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.

Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal”⁷, que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos.

-  Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una divisiónexacta de los camellos, que ahora son 36.

Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:

-             Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambiola mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división.

Dirigiéndose al segundo heredero continuó:

-             Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas arecibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio.

Y dijo, por fin, al más joven:

-    A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir unanovena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.

Luego continuó diciendo:

-    Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia⁸.

-    ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-.

Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad. El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía:

-    Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí.

Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.

 

CAPÍTULO 4

En el cual encontramos un rico sheik, casi muerto de hambre en el desierto. La propuesta que nos hizo sobre los ocho panes que teníamos y como se resolvió, de manera imprevista, el pago con ocho monedas. Las tres divisiones de Beremís: la división simple, la división exacta y la división perfecta. Elogio que un ilustre visir dirigió al “Hombre que calculaba”.

Tres días después, nos aproximábamos a una pequeña aldea –llamada Lazakka cuando encontramos, caído en el camino, a un pobre viajero herido.

Socorrímosle y de su labios oímos el relato de su aventura.

Llamábase Salem Nasair, y era uno de los más ricos negociantes de Bagdad. Al regresar, pocos días antes, de Basora, con una gran caravana, fue atacado por una turba de persas, nómades del desierto. La caravana fue saqueada, pereciendo casi todos sus componentes a manos de los beduinos. Sólo se había salvado él, que era el jefe, ocultándose en la arena, entre los cadáveres de sus esclavos. Al terminar el relato de sus desgracias, nos preguntó con voz angustiosa:

-  ¿Tenéis, por casualidad, musulmanes, alguna cosa para comer? ¡Estoy casi muriéndome de hambre!

-  Tengo solamente tres panes –respondí.

-  Yo traigo cinco –afirmó a mi lado el “Hombre que calculaba”.

-  Pues bien –sugirió el sheik⁹-; juntemos esos panes y hagamos una sociedad única. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma.

Así hicimos, y al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la célebre ciudad de Bagdad, la perla de Oriente.

Al atravesar una hermosa plaza, nos enfrentamos con un gran cortejo. Al frente marchaba, en brioso alazán, el poderoso Ibraim Maluf, uno de los visires¹⁰ del califa en Bagdad.

Al ver el visir a sheik Salem Nasair en nuestra compañía, gritó, haciendo parar su poderosa escolta, y le preguntó:

-  ¿Qué te ha pasado, amigo mío? ¿Por qué te veo llegar a Bagdad sucio y harapiento, en compañía de dos hombres que no conozco?

El desventurado sheik narró, minuciosamente, al poderoso ministro todo lo que le ocurriera en el camino, haciendo los mayores elogios respecto de nosotros.

-  Paga sin pérdida de tiempo a esos dos forasteros, ordenó el visir.

Y sacando de su bolsa 8 monedas de oro las entregó a Salem Nasair, insistiendo: - Quiero llevarte ahora mismo al palacio, pues el Comendador de los Creyentes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que lo beduinos practicaran, al matar a nuestros amigos saqueando caravanas dentro de nuestras fronteras.

- Voy a dejaros, amigos míos -; dijo Nasair- más, antes deseo agradeceros el gran servicio que me habéis prestado. Y para cumplir la palabra, os pagaré el pan que tan generosamente me dierais.

Y dirigiéndose al “Hombre que calculaba” le dijo:

- Por tus cinco panes te daré cinco monedas.

Y volviéndose hacia mí, concluyó:

-  Y a ti, “bagdalí”, te daré por los tres panes tres monedas.

Con gran sorpresa nuestra, el “Calculista” objetó, respetuosamente:

-  ¡Perdón, oh sheik! La división hecha de ese modo será muy sencilla, mas no es matemáticamente exacta. Si yo di 5 panes, debo recibir 7 monedas; y mi compañero, “el Bagdad” que dio tres panes, solamente debe recibir una moneda. - ¡Por el nombre de Mahoma!¹¹ –dijo el visir Ibraim, interesado vivamente por el caso-. ¿Cómo justificas, extranjero, tan disparatada forma de pagar 8 panes con 8 monedas? Si contribuiste con 5 panes, ¿por qué exiges 7 monedas? Y si tu amigo contribuyó con 3 panes, ¿por qué afirmas que debe recibir únicamente una moneda?

 El “Hombre que calculaba” se aproximó al poderoso ministro y así le habló: - Voy a probaros que la división de las monedas hecha en la forma propuesta por mí, es más justa y más exacta.

Cuando, durante el viaje, teníamos hambre, sacaba un pan de la caja y lo partía en tres trozos, uno para cada uno de nosotros. Todos los panes que eran 8, fueron divididos, pues, en la misma forma. Es evidente, por lo tanto, que si yo tenía 5 panes, di 15 pedazos; si mi compañero tenía 3 panes, dio 9 pedazos. Hubo, así, un total de 24 pedazos, de los cuales cada uno de nosotros comió 8. Ahora bien; si de mis 15 pedazos comí 8, di, en realidad, 7; y mi compañero, que tenía 9 pedazos, al comerse 8, solo dio 1. Los 7 que di yo y el que suministró “el bagdalí” formaron los 8 que comiera el sheik Salem Nasair. Por consiguiente, es justo que yo reciba 7 monedas y mi compañero 1.

El gran visir, después de hacer los mayores elogios al “Hombre que calculaba”, ordenó que le fueran entregadas las 7 monedas, pues a mí sólo me tocaba, por derecho, 1. La demostración lógica y perfecta presentada por el matemático no admitía duda.

-  Esa división – replicó entonces el “Calculista”- es matemáticamente exacta, pero a los ojos de Dios no es perfecta.

Y tomando las ocho monedas en la mano las dividió en dos partes iguales. Dióme una de ellas y se guardó la otra.

- Ese hombre es extraordinario –exclamó el visir-. No aceptó la división propuesta de las ocho monedas en dos partes de 5 y 3, en la que salía favorecido; demostró tener derecho a 7 y su compañero a 1, acabando por dividir las 8 monedas en dos partes iguales, que repartió con su amigo.

Y añadió con entusiasmo:

-             ¡Mac Alah!¹² Ese joven, además de parecerme un sabio habilísimo en los cálculos de Aritmética, es bueno como amigo y generoso como compañero. Tómolo ahora mismo como secretario mío.

-             Poderoso visir –le dijo el “Hombre que calculaba”-, veo que acabáis de hacer, con29 palabras y un total de 145 letras, el mayor elogio que oí en mi vida, y yo, para agradecéroslo, me veo en la obligación de emplear 58 palabras en las cuales figuran nada menos que 290 letras, el doble de las vuestras¹³, precisamente. ¡Que Alah os bendiga y proteja!

Con estas palabras el “Hombre que calculaba” nos dejó a todos maravillados de su argucia e invencible talento de calculista.

 

CAPÍTULO 5

En el cual nos dirigimos a una posada. Palabras calculadas por minuto. Beremís resuelve un problema y determina la deuda de un joyero. Los médicos del rey Artajerjes y la Aritmética.

Después de abandonar la compañía del sheik Nasair y del visir Maluf, nos encaminamos hacia una pequeña posad denominada “Patito Dorado”, en los alrededores de la Mezquita de Solimán.

Allí vendimos nuestros camellos a un chamir¹⁴ de mi confianza, que vivía cerca.

En el camino dije a Beremís:

-  Ya veis, amigo, tuve razón cuando afirmé que un calculista hábil hallaría con facilidad un buen empleo en Bagdad. No bien llegasteis, fuisteis invitado a ejercer el cargo de secretario de un visir. Ahora no necesitaréis más volver a la árida y triste aldea de Khoy.

-  Aunque aquí prospere me contestó el “Calculista”-, aunque me enriquezca, volveré, con el tiempo a Persia, para ver mi tierra natal. Es ingrato aquel que olvida su patria y los amigos de la infancia., cuando tiene la felicidad de encontrar en su vida un oasis de prosperidad y fortuna. Y añadió:

-  Viajamos juntos hasta este momento, exactamente ocho días. Durante ese tiempo, para aclarar dudas e indagar sobre cosas que me interesaban, pronuncié exactamente 414.720 palabras. Ahora bien; como en 8 días hay 11.520 minutos, saco en conclusión que durante nuestro viaje pronuncié, término medio, 36 palabras por minuto, o sea 2.160 por hora. Estos números demuestran que hablé poco, fui discreto y no ocupé tu tiempo haciéndote escuchar discursos engorrosos y estériles. Un hombre taciturno, excesivamente callado, se vuelve desagradable, más los que hablan sin parar irritan y fastidian a sus oyentes. Debemos, pues, evitar las palabras inútiles, sin caer en el laconismo, que es incompatible con la delicadeza.

-  Había una vez en Teherán, Persia, un viejo mercader que tenía tres hijos. Un día el mercader los llamó y les dijo: “Aquel de vosotros que pase el día sin decir palabras inútiles recibirá un premio de 23 dracmas¹⁵”. Al caer la noche, los tres hijos se presentaron al anciano. El primero dijo: “Evité hoy, padre mío, todas las palabras inútiles. Espero, por tanto, merecer, según vuestra promesa, el premio estipulado, premio de 23 dracmas, como sin duda recordareis.” El segundo se aproximó al anciano, le besó las manos y se limitó a decir: “Buenas noches, padre mío.” El más joven, en fin, se aproximó al anciano y sin decir palabra extendió la mano para recibir el premio. El mercader, al observar la actitud de los tres muchachos, les habló así: “Fatigóme el primero, al llegar a mi presencia, con varias palabras inútiles. El tercero se mostró demasiado lacónico. El premio corresponde, pues, al segundo, que en su conversación fue discreto y sin afectación.” Al terminar, Beremís me preguntó:

-  ¿No te parece que el viejo mercader falló con justicia al juzgar a sus tres hijos? No le respondí. Me pareció mejor no discutir el caso de los veintitrés dracmas con aquel hombre prodigioso que calculaba medidas y resolvía problemas, reduciendo todo a números.

Momentos después llegábamos al “Patito Dorado”.

El dueño de la posada se llamaba Salim y había sido empleado de mi padre. Al verme, gritó sonriente:

-  ¡Alah sea contigo, mi señor!¹⁶ Aguardo tus órdenes ahora y siempre.

Díjele entonces que necesitaba una habitación para mí y para mi amigo Beremís Samir, el calculista, secretario del visir Maluf.

-  ¿Ese hombre es un calculista? -exclamó el viejo Salim-. Sí así es, llegó en un momento oportuno para sacarme de un apuro. Acabo de tener una seria divergencia con un joyero. Discutimos largo rato, y de nuestra discusión ha resultado, al final, un problema que no sabemos resolver.

Al saber que un calculista había llegado a la posada, varias personas se aproximaron, curiosas. El vendedor de joyas fue llamado, y declaró estar interesadísimo en la resolución de ese problema.

-  ¿Cuál es el origen de la duda? –preguntó Beremís.

El viejo Salim contestó:

-  Ese hombre, y señaló al joyero, vino desde Siria a vender joyas en Bagdad, prometiéndome pagar por el hospedaje veinte dracmas si vendía las joyas por 100 dracmas, pagando 35 si las vendía por 200.

Proporción que planteó el mercader de joyas:

200 : 35 = 140 : X

El valor de X es 24,5

Al cabo de varios días de ir y venir de aquí para allá, vendió todo en 140 dracmas. ¿Cuánto debe pagar, en consecuencia, ateniéndose a lo convenido, por concepto de hospedaje?

-  Debo pagar apenas 24 dracmas y medio –replicó el mercader sirio-. Si vendiendo a 200 pagaría 35, vendiendo a 140 debo pagar 24 y medio.

-  Está equivocado –replicó irritado el viejo Salim-. Por mis cálculos son 28. Vea usted: si por 100 debía pagar 20, por 140 debo recibir 28.

Proporción que planteó el dueño de la hospedería:

100 : 20 = 140 : X

El valor de X es 28

-  Calma, mis amigos –interrumpió el calculista- es preciso encarar las dudas con serenidad y bondad. La precipitación conduce al error y a la discordia. Los resultados que los señores indican están equivocados, según voy a demostrarlo:

Y aclaró el caso del siguiente modo:

- De acuerdo con la combinación hecha, el sirio pagaría 20 dracmas si vendiese las joyas por 100, y se vería obligado a pagar 35 si las vendiese en 200.

Tenemos así:

                                Precio de venta        Precio hospedaje

                                         200                            35

                                         100                            20

             Diferencia:           100                            15

 

Observen que a una diferencia de 100 en el precio de venta, corresponde una diferencia de 15 en el precio del hospedaje. ¿Está claro esto?

-  Claro como leche de camello –asintieron ambos.

-  Ahora –prosiguió el calculista-, si un acrecentamiento de 100 en la venta produce un aumento de 15 en el hospedaje, un acrecentamiento de 40 (que es los dos quintos de 100) debe producir un aumento de 6 (que es los dos quintos de 15) a favor del posadero. El pago que corresponde a los 140 dracmas es, pues, 20 más 6, o sea, 26.

Proporción que planteó el calculista:

200 : 15 = 40 : X

El valor de X es 6

Dirigiéndose entonces al joyero sirio, así le habló:

-  Mi amigo. Los números, a pesar de su simplicidad aparente, no es raro que engañen, aun al más capaz. Las proporciones, que nos parecen perfectas, nos conducen, a veces, a error. De la incertidumbre de los cálculos es que resulta indiscutible el prestigio de la Matemática. De los términos del problema resulta que el señor deberá pagar a hotelero 26 dracmas y no 24 y medio, como al principio sostenía. Hay todavía una pequeña diferencia que no merece ser considerada y cuya magnitud no puedo expresar numéricamente, por carecer de recursos.¹⁷

-  El señor tiene razón –asintió el joyero-. Reconozco que mi cálculo estaba equivocado.

Y sin dudar, sacó de su bolsa 26 dracmas y los entregó al viejo Salim, ofreciendo como presente al talentoso Beremís un hermoso anillo de oro con dos piedras oscuras, acompañando el obsequio con expresiones afectuosas.

Todos los que se hallaban en la posada admiraron la sagacidad del nuevo calculista, cuya fama, día a día, ganaría a grandes pasos la “almenara”¹⁸ del triunfo.

Momentos después, cuando nos encontrábamos a solas, interrogué a Beremís sobre el sentido exacto de una de sus afirmaciones: “De la incertidumbre de los cálculos es que resulta indiscutible el prestigio de la Matemática”.

El “Hombre que calculaba” me aclaró el concepto:

- Si los cálculos no estuvieran sujetos a dudas y contradicciones, la Matemática sería, al final, de una simplicidad insípida, tibia, apagada, sin interés alguno. No habría raciocinio, ni sofismas, ni artificios; la teoría más interesante desaparecería entre las nebulosidades de las nociones inútiles. Presentándose, sin embargo, aún en las fórmulas más perfectas y rígidas, las dudas, incertidumbres y contradicciones, el matemático toma del carcaj de su inteligencia, sus armas y se apresta a combatir. Donde el ignorante ve incertidumbre y contradicciones, el geómetra demuestra que existe firmeza y armonía. El rey Artajerjes preguntó, cierta vez, a Hipócrates de Cos, médico famoso, como debía proceder para combatir de modo eficiente las epidemias que diezmaban al ejército persa. Hipócrates respondió: “Obligad a todo vuestro cuerpo médico a estudiar Aritmética. Al practicar el estudio de los números y las figuras, los doctores aprenderán a razonar, desenvolviendo sus facultades de inteligencia, y aquel que razona con eficacia es capaz de hallar los medios seguros para combatir cualquier epidemia.”

CAPÍTULO 6

En el cual vamos al palacio del visir Maluf. Encontramos al poeta Iezid, que no reconoce los prodigios del cálculo. “El hombre que calculaba” cuenta, en forma original, una caravana numerosa. La edad de la novia y un camello sin oreja.

Beremís descubre la “amistad cuadrática” y habla del rey Salomón.

Después de la segunda oración¹⁹, salimos de la posada y nos dirigimos hacia la residencia del visir Ibraim Maluf.

Al entrar en la hermosa morada del visir, el calculista quedó encantado.

Era una casa principesca, de puro estilo árabe, con un pequeño jardín sombreado por filas paralelas de naranjos y limoneros. Del jardín se pasaba a un patio interior por una estrecha puerta y un corredor que tenía apenas el ancho de un hombre normal. En el fondo del patio erguíanse doce columnas blancas, unidas por otros tantos arcos en forma de herradura, que sostenían, a la altura del primer piso, una galería con baranda de madera. El piso del patio, de la galería y de las habitaciones estaba embaldosado con espléndidos mosaicos de cuadritos esmaltados, de variados colores; los arcos lucían arabescos y pinturas sugestivas; la balaustrada tenía labrados de motivos delicados; todo estaba diseñado con una armonía y una gracia digna de los arquitectos de la Alhambra.

Había en el medio del patio una fuente y, más adelante, otra, revestidas de mosaico con rosas y estrellas y en ella tres surtidores. Del medio de cada arco colgaba una lámpara morisca. Todo era allí, fastuoso y señorial. Una de las alas del edificio, que se extendía a lo largo del jardín, tenía también un frente formado por tres arcos, ante los que susurraba una tercera fuente. En las salas principales, ricos tapices de oro lucían, suspendidos de las paredes.

Ante el gran ministro nos condujo un esclavo negro. Lo encontramos reclinado en grandes almohadones, hablando con dos de sus amigos.

Uno de ellos era el sheik Salem Nasair, nuestro compañero de aventuras en el desierto; el otro era un hombre bajo, de fisonomía bondadosa, de rostro redondo y barba ligeramente grisácea. Vestía con esmerado gusto y lucía en el pecho, una medalla de oro de forma rectangular, que tenía una cara del color del oro y otra obscura como bronce.

Nos recibió el visir Maluf con demostraciones de viva simpatía, y dirigiéndose al hombre de la medalla, le dijo sonriente:

-    Aquí está, caro Iezid, nuestro gran matemático. El joven que lo acompaña es un “bagdalí” que lo descubrió por casualidad cuando viajaba por los caminos de Alah. Dirigimos un respetuoso “zalam” al noble jefe. Más tarde supimos que se trataba de un poeta brillante –Iezid Abul -Hamid-, amigo y confidente del califa Al-Motacen.

La singular medalla la había recibido de sus manos como premio, por haber escrito un poema de treinta mil doscientos versos sin emplear una sola vez, las letras “kaf”, “lam” y “ayu”²⁰.

-             Amigo Maluf –dijo el poeta Iezid-, cuéstame creer las hazañas prodigiosas llevadas a cabo por este calculista persa. Cuando se combinan los números, aparecen, también, los artificios del cálculo y las mistificaciones algebraicas. Presentóse cierta vez un mago, que afirmaba poder leer el destino de los hombres en la arena, al rey El-Harit, hijo de Modad. –“¿Hace usted cálculos?”, le preguntó el rey. Y antes de que el mago saliese de su asombro, continuó: “Si no hace cálculos, sus predicciones nada valen; más si las obtiene por los cálculos, dudo de ellas.” Aprendí en la India un proverbio que dice: “Es preciso desconfiar siete veces del cálculo y cien del calculista.”

-             Para poner fin a esas de desconfianzas –sugirió el visir- vamos a someter a nuestro huésped a una prueba decisiva.

Y diciendo así se levantó de los almohadones y nos condujo a una de las ventanas del palacio.

Daba esa ventana para un gran patio que, en ese momento, estaba lleno de camellos.

Eran todos muy hermosos, pareciendo de buena raza; distinguí entre ellos dos o tres blancos, de Mongolia, y varios “carehs”, de pelo claro.

-  Es esa –dijo el visir- una hermosa partida de camellos que he comprado y que pienso enviar como dote al padre de mi novia. Di, sin error, cuántos son.

El visir, para hacer más interesante la prueba, dijo en secreto a su amigo Iezid, el número total de animales.

Quiero ahora –prosiguió, volviéndose a Beremís- que nuestro calculista nos diga cuántos camellos hay en el patio, delante de nosotros.

Esperé aprensivo el resultado. Los camellos eran muchos y se confundían en medio de la agitación en que se hallaban. Si mi amigo, en un descuido, errase el cálculo, terminaría nuestra visita, en consecuencia, con el más grande de los fracasos.

Después de dar un vistazo a todos los camellos, el inteligente Beremís dijo:

-  Señor visir: creo que se encuentran ahora en el patio, 257 camellos.

-  Es verdad –confirmó el visir-: ha acertado. El total es ese, precisamente: 257. - ¿Cómo llegó al resultado con tanta rapidez y precisión? –preguntó con grandísima curiosidad el poeta Iezid.

-  Muy simplemente –explicó Beremís-. Contar los camellos uno por uno, sería, a mi modo de ver, tarea sin importancia, una bagatela. Para hacer más interesante el problema, procedí de la siguiente manera: conté primero todas las patas y después todas las orejas, hallando de ese modo un total de 1.541. A ese resultado sumé una unidad y dividí por 6. Hecha esa división, hallé como cociente exacto, 257. - ¡Por el nombre del profeta! –exclamó el visir-. Todo esto es originalísimo, admirable. ¡Quién iba a imaginar que este calculista, para hacer más interesante el problema, fuese capaz de contar todas las patas y orejas de 257 camellos! ¡Por la gloria de Mahoma!

-  Debo decir, señor ministro –retrucó Beremís-, que los cálculos se vuelven a veces complicados y difíciles como consecuencia de un descuido o de la falta de habilidad del propio calculista. Cierta vez en Khói, en Persia, cuando vigilaba el rebaño de mi amo, pasó por el cielo una bandada de mariposas. “Preguntóme, a mi lado, un pastor, si podía contarlas.” “Son ochocientas cincuenta y seis” –respondí. “¡Ochocientas cincuenta y seis!” respondió mi compañero, como si hubiese exagerado el total. –Fue entonces que noté que por descuido había contado, no las mariposas, sino sus alas. Después de dividir por 2, le dije el resultado verdadero. Al oír el relato de ese caso, lanzó el visir estrepitosa carcajada, que sonó en mis oídos como si fuera una música deliciosa.

-  Hay, sin embargo –insistió muy serio el poeta Iezid- una particularidad que escapa a mi raciocinio. Dividir por 6 es aceptable, ya que cada camello tiene 4 patas y 2 orejas, cuya suma (4+2) es igual a 6²¹. No obstante, no comprendo por qué razón antes de dividir sumó una unidad al total.

-  Nada más simple –respondió Beremís-. Al contar las orejas noté que uno de los camellos era defectuoso (sólo tenía una oreja). Para que la cuenta fuese exacta era, pues, necesario aumentar uno al total obtenido.

Y volviéndose hacia el visir, preguntó:

-  ¿Sería indiscreción o imprudencia de mi parte preguntaros, señor, cuál es la edad de aquella que tiene la ventura de ser vuestra novia?

-  De ningún modo –respondió sonriente el ministro-. Asir tiene 16 años.

Y añadió, subrayando las palabras con un ligero tono de desconfianza:

-    Pero no veo relación alguna, señor calculista, entre la edad de mi novia y los camellos que voy a ofrecer como presente a mi futuro suegro.

-             Deseo apenas –refutó Beremís- haceros una pequeña sugestión. Si retiraseis del conjunto, el camello defectuoso (sin oreja), el total sería 256. Ahora bien: 256 es el cuadrado de 16, o sea, 16 veces 16. El presente ofrecido al padre de la encantadora Asir tomará, de ese modo, alto significado matemático. El número de camellos que forman la dote será igual al cuadrado de la edad de la novia. Además el número 256 es potencia exacta del número 2 (que para los antiguos era número simbólico), mientras que 257 es primo²². Esas relaciones entre los números cuadrados son buen augurio para los enamorados. Cuéntase que el rey Salomón, para asegurar la base de su felicidad, dio a la reina de Saba –la famosa Balkis- una caja con 529 perlas. Es precisamente 529 el cuadrado de 23, que era la edad de la reina. El número 526 presenta, no obstante, gran ventaja sobre el 529. Si sumamos los guarismos de 256 obtenemos 13, que elevado al cuadrado da 169; la suma de las cifras de ese número es 16, cuyo cuadrado nos reproduce precisamente, 256. Por ese motivo los calculistas llaman reversible al número 256. Existe, pues, entre los números 13 y 16 curiosa relación, que podría ser llamada “amistad cuadrática”. Realmente, si los números hablasen podríamos oír la siguiente conversación: El dieciséis diría al trece:

“Quiero ofrecerte mi homenaje, amigo.

Mi cuadrado es 256,  cuya suma de guarismos es 13.” Y el trece respondería:

“Agradezco tu bondad y quiero retribuirla en la misma forma. Mi cuadrado es 169, cuya suma de guarismos es 16.”

El calculista agregó:

-             Creo haber justificado plenamente la preferencia que debe ser otorgada al número256, que excede en propiedades al 257.

-             Su idea es bastante curiosa – acordó prontamente el visir- y voy a adoptarla, aunque caiga sobre mí la acusación de plagiario, del rey Salomón.

Y dirigiéndose al poeta Iezid, concluyó:

-             Veo que la inteligencia de este calculista no es menos que su habilidad parades cubrir analogías e inventar leyendas. Estuve muy acertado en el momento en que decidí ofrecerle ser mi secretario.

-             Siento decirle, ilustre mirza²³ –replicó Beremís- que sólo podría aceptar vuestra honrosa invitación si aquí hubiera lugar para mi buen amigo Hank-Tad-Madya –el “bagdalí”-, que se encuentra en estos momentos sin recursos y sin empleo. Quedé encantado con la delicadeza del calculista, que procuraba, de esa manera, atraer sobre mí la valiosa protección del poderoso visir.

-             Es muy justo su pedido –dijo condescendientemente el ministro-, y su compañero Hank-Tad-Madya se quedará también aquí, ejerciendo las funciones de escribiente, como ya lo he ordenado.

Acepté, sin dudar, la propuesta, expresando después al visir y también al bondadoso Beremís mi reconocimiento.

CAPÍTULO 7

En el cual vamos a la calle de los mercaderes. Beremís y el turbante azul. El caso de los cuatro cuatros. El problema del mercader sirio. Beremís explica todo y es generosamente recompensado. Historia de la “prueba real” del rey de Yemen.

Algunos días después, terminados los trabajos que diariamente hacíamos en el palacio del visir, fuimos a pasear por el suque²⁴ de los mercaderes.

Aquella tarde, la ciudad presentaba un aspecto febril, fuera de lo común. Era que por la mañana habían llegado dos grandes caravanas de Damasco.

Los bazares aparecían llenos de gente; los patios de los almacenes estaban atestados de mercaderías; los fieles rezaban en las puertas de las mezquitas. Por todas las calles se veían los turbantes blancos de los forasteros, y no eran solo los turbantes los que nos parecían blancos, sino que todo se nos presentaba de ese color; daba la impresión de que la gente caminara en puntas de pies. Todo estaba impregnado de un fuerte aroma de áloe, de especias, de incienso, de mirra; parecía que se anduviera por una inmensa droguería.

Los vendedores pregonaban sus mercaderías, aumentando su valor con elogios exagerados, para los que es tan fértil la imaginación árabe.

-  ¡Este rico tejido, es digno del profeta!

-  Amigo. ¡Es un delicioso perfume, que aumentará el cariño de vuestra esposa! - Reparad, oh sheik, en estas chinelas y en este lindo “cafetán”²⁵ que los dijins²⁶ recomiendan a los ángeles.

Se interesó Beremís por un elegante y armonioso turbante azul claro, que un sirio, medio jorobado, ofrecía por 4 dracmas. La tienda de ese mercader era muy original, pues todo allí (turbantes, cajas, pulseras, puñales, etc.) se vendía por 4 dracmas.

Había un letrero que, en caracteres árabes decía:

Los cuatro cuatros

Al ver a Beremís interesado en adquirir el turbante azul, objeté:

-  Juzgo una locura el comprar ese lujo. Tenemos poco dinero y no hemos pagado aún el hospedaje.

-  No es el turbante lo que me interesa –retrucó Beremís-; observo que la tienda de este mercader se llama “Los cuatro cuatros”. Hay en ello una gran coincidencia, digna de mi atención.

-  ¿Coincidencia? ¿Por qué?

-  En este momento, “bagdalí” –replicó Beremís- la leyenda que figura en ese letrero me recuerda una de las maravillas del cálculo. Podemos formar un número cualquiera, empleando solamente cuatro cuatros, ligados por signos matemáticos. Y antes de que le interrogase sobre aquel enigma, Beremís explicó, dibujando en la fina arena que cubría el piso:

-  Quiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir:

44-44 = 0

Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero.

Pasamos ahora al número 1. Esta es la forma más cómoda:

-  ¿Quiere ver ahora el número 2? Fácilmente se usan los cuatro cuatros escribiendo

           

-  El 3 es más fácil todavía. Basta escribir la expresión:

Repare en que la suma de 12 dividida por 4, da un cociente 3. Resulta así el número 3 formado por cuatro cuatros.

-  ¿Cómo formareis el número 4? –pregunté.

-  Muy fácilmente –dijo Beremís-. El número cuatro puede formarse de varias maneras; una de ellas sería la siguiente:

En la que el segundo sumando vale cero, y su suma, por lo tanto, vale 4.

Noté entonces que el mercader sirio seguía atento, sin perder palabra, la explicación de Beremís, como si mucho le interesasen las expresiones aritméticas formadas por los cuatro cuatros.

Beremís continuó:

-  Para formar el número 5, por ejemplo, no hay dificultad. Escribimos:

En seguida pasamos al 6:

Una pequeña alteración de la expresión anterior la convierte en 7:

Y de manera más simple logramos el 8:

4 + 4 + 4 – 4 = 8

El nueve no deja de ser interesante:

Y ahora una expresión igual a 10 formada por los cuatro cuatros:

En ese momento, el jorobado, dueño de la tienda, que estuviera oyendo la explicación del calculista en actitud de respetuoso silencio e interés, observó: - Por lo que acabo de oír, el señor es hábil para sacar cuentas y hacer cálculos. Le regalaré este bello turbante, como presente, si se sirve explicarme cierto misterio que encontré en una suma, y que me tortura desde hace dos años.

Y el mercader narró lo siguiente:

-             Presté, cierta vez, la cantidad de 100 dracmas: 50 a un sheik y los otros 50 a un judío de El Cairo.

 El sheik pagó su deuda en cuatro cuotas, del modo siguiente:

 

Pagó	20	quedó debiendo		30
Pagó	15	quedó debiendo		15
Pagó	10	quedó debiendo		5
Pagó	5	quedó debiendo		0
Suma	50		suma	50

 

- Fíjese, mi amigo continuó el mercader-, en que tanto la suma de las cuotas pagadas como la de los saldos deudores es igual a 50. El judío pagó también los 50 dracmas en cuatro cuotas, del modo siguiente:

 

 

Pagó	20	quedó debiendo		30
Pagó	18	quedó debiendo		12
Pagó	3	quedó debiendo		9
Pagó	9	quedó debiendo		0
Suma	50		suma	51

En este caso la primera suma es 50 (como en el caso anterior), mientras que la segunda da un total de 51. No sé explicarme esa diferencia de 1 que se observa en la segunda parte del pago. Se bien que no salí perjudicado (pues recibí el total de la deuda), mas ¿cómo justificar el hecho de ser la segunda suma igual a 51 y no a 50?

- Amigo mío –aclaró Beremís-, esto se explica con pocas palabras. En las cuentas de pago, los saldos deudores nada tienen que ver con el total de la deuda. Admitamos que una deuda de 50 fuese pagada en tres cuotas: la primera de 10, la segunda de 5 y la tercera de 35. Efectuemos las sumas:

 

Pagó	10	quedó debiendo		40
Pagó	5	quedó debiendo		35
Pagó	35	quedó debiendo		0
Suma	50		suma	75

En este ejemplo, la primera suma es 50, mientras que la de los saldos es 75; podía también haber resultado igual a 80, 99, 100, 260, 8000 u otro número cualquiera. Puede por casualidad dar 50 (como en el primer caso), o 51 (como en el caso del judío).

Quedó conforme el mercader al haber entendido el asunto, cumpliendo su promesa de ofrecer, como presente, al calculista, el turbante azul que valía 4 dracmas. Beremís, para distraer al buen mercader, le contó enseguida este curioso episodio: - Omeya, rey de Yemen, tenía un tesorero llamado Quelal, que parecía muy cuidadoso y probo. Queriendo el monarca asegurarse de la honestidad de su auxiliar, hizo lo siguiente: durante tres días colocó, sin decir nada, un dracma en la caja de los gastos. Resultaba claro que el tesorero, al finalizar el día, cuando hiciera el arqueo, hallaría el exceso de un dracma, que anotaría como saldo en el libro correspondiente. El rey observó que en los tres días el tesorero no registraba aquella diferencia. –“Naturalmente que, el muy ambicioso, se guarda el dracma excedente”, supuso el rey. “¡Quien iba a imaginar que el tesorero Quelal fuese capaz de tal proceder!” Resolvió, sin embargo, someterlo a una verdadera prueba, esto es, a una “prueba real”. ¿Y qué hizo el rey? Pues, durante los tres días siguientes retiró secretamente de la caja un dracma, y esperó que el tesorero se diese cuenta y reclamase la diferencia. Pero eso tampoco dio resultado. Mediante esas pruebas, que consideró suficientes, Omeiá llamó su gran visir y le dijo: “Es preciso hacer con urgencia un interrogatorio. Tengo serias razones para desconfiar de nuestro tesorero Quelal.” –“Creo, mi rey, que es necesario investigar”-replicó el visir-.

Puedo probar que el indigno Quelal no procede con honestidad.” “¿Cómo?”, preguntó el rey. – Dijo entonces el ministro: “Sepa Vuestra Majestad que resolví, una vez, saber si eran exactas o no las cuentas presentadas diariamente por el tesorero de la Corte. Sin decir nada, durante tres días, retiré de la caja la cantidad de un dracma. Pues bien, el tesorero nunca anotó lo que yo retiraba. A continuación, y también durante tres días, coloqué un dracma en la caja de Quelal, sin que él registrara ese exceso. Ahora bien: cuando un tesorero no anota con exactitud las diferencias de caja, es porque su forma de proceder se aparta de los principios de la más elemental honestidad.” Con sobrada razón se asombró el rey al oír el relato del gran visir. Estaba sí explicado el misterio del caso. Las leyes del Destino son insondables. Por extraordinaria coincidencia, los mismos días en que él ponía un dracma, el visir retiraba la misma cantidad de la caja. El rey no hizo otra cosa, en los días siguientes, que retirar al diligente Quelal el dinero colocado por el astuto ministro. Avergozóse entonces el digno monarca, por el espionaje a que sometiera a un funcionario tan fiel y que tanta lealtad y dedicación había demostrado siempre, así como de haber empleado esos ardides y fraudes, que fueran anulados, empleando iguales medios, por el visir. Cuando el ministro terminó el relato, el poderoso rey se levantó y dijo, mirándolo fijamente: “Sus palabras, visir, solo prueban que nuestro tesorero Quelal es escrupuloso y honestísimo en sus funciones. Resuelvo, pues, que no se haga el interrogatorio, y que Quelal quede en su puesto con el mismo cargo y doble sueldo. El visir, al oír esa inesperada sentencia del rey, tuvo un ataque al corazón y cayó fulminado sobre las gradas del trono. Y no era para menos. ¡Uassalam!²⁷

 

CAPÍTULO 8

En el cual Beremís habla de las formas geométricas. Encontramos al sheik Salen

Nasair entre los vendedores de vino. Beremís resuelve el problema de los 21 vasos y otro más que causa asombro a los mercaderes. Un camello robado, descubierto por Geometría. Habla del sabio Al-Hossein, que inventó la “prueba del nueve”.

Estaba Beremís satisfechísimo con el bello regalo que le hiciera el mercader sirio. Está muy bien arreglado.

-decía, haciendo girar el turbante y examinándolo cuidadosamente por todos lados-. Tiene, para mí manera de ver, un pequeño defecto que pudo ser evitado. Su forma no es rigurosamente geométrica. Quedé atónito, sin poder disimular la sorpresa que sus palabras me causaran. Aquel hombre, a más de ser un calculista original, tenía la manía de transformar las cosas más vulgares, de modo de darle forma geométrica hasta a los turbantes de los musulmanes.

- No le admire, amigo mío –prosiguió el inteligente persa-, que yo quiera ver turbantes de forma geométrica²⁸. La geometría existe en todas partes. Procure observar las formas regulares y perfectas que presentan algunos cuerpos.

Las flores, las hojas y muchos animales revelan simetrías admirables que deslumbran nuestro espíritu. La Geometría, repito, existe en todas partes. En el disco del Sol, en la hoja del datilero, en el arco iris, en la mariposa, en el diamante, en la estrella de mar y hasta en un pequeño grano de arena. Hay, en fin, infinita variedad de formas geométricas presentadas por la Naturaleza. Un cuervo, al volar lentamente por el cielo, describe figuras admirables; la sangre que circula por las venas de los camellos no escapa a los rigurosos principios geométricos²⁹; la piedra que se tira al importuno chacal, dibuja en el aire una curva perfecta³⁰.

 

“El beduino ve las formas geométricas, pero no las entiende; el sunita las entiende mas no las admira; el artista, finalmente, mira la perfección de las figuras, comprende lo bello y admira el orden y la armonía”. En el dibujo que ilustra esta página se ve una flor en la que se destaca, en forma impecable, la simetría pentagonal.

La abeja construye sus alvéolos en forma de prismas hexagonales, y adopta esa forma geométrica, creo, para obtener mayor rendimiento y economía de material. La Geometría existe, como dijo el filósofo, en todas partes. Sin embargo, es preciso saber verla, tener inteligencia para comprenderla y alma para admirarla. El rudo beduino, ve las formas geométricas, mas no las comprende; el “sunita”³¹ las entiende pero no las admira; el artista, finalmente, mira la perfección de las figuras, comprende lo bello y admira el orden y la armonía. Dios fue un gran geómetra.

Geometrizó la Tierra y el Cielo³². Existe en Persia una planta, el “saxahul”, muy apreciada como alimento para los camellos y ovejas, cuya semilla…

Iba a proseguir el elocuente calculista con sus consideraciones sobre las formas geométricas de las semillas del “saxahul”, cuando vimos en la puerta de una tienda próxima, a nuestro protector, el sheik Salerm Nasair, que nos llamaba a grandes voces.

-    Me siento feliz de haberlo encontrado, calculista (exclamó el sheik al aproximársenos); su presencia es muy oportuna. Estoy aquí en compañía de algunos amigos y me hallo azorado con dos problemas que sólo un gran matemático podría resolver.

Aseguró Beremís que emplearía todos sus recursos para hallar la solución de los problemas que interesaban al sheik, pues no quería desperdiciar una sola ocasión de servir a un hombre tan amable y generoso. El sheik señaló a los tres árabes que lo acompañaban y dijo:

-  Estos tres hombres recibirán, como pago de un servicio hecho, una partida de vino compuesta de 21 vasos iguales, estando 7 llenos, 7 medio llenos y 7 vacíos. Quieren ahora dividir los 21 vasos de manera que cada uno reciba el mismo número de vasos y la misma cantidad de vino. ¿Cómo hacer el reparto? Ese es el primer problema.

 

 Esta figura indica, claramente, la solución del problema de los 21 vasos. Los siete primeros rectángulos representan los vasos llenos; los 7 siguientes rectángulos representan los vasos medio llenos y los otros 7 vasos vacíos. Para que los tres mercaderes reciban el mismo número de vasos y cantidades iguales de vino, la división deberá efectuarse cómo indican las líneas punteadas del dibujo.

Pasados algunos minutos de silencio, Beremís respondió:

-             La división que acabáis de proponer se puede hacer de varias maneras. Indicaré una de ellas. El primer socio recibirá:

 

	3 vasos llenos,
	1 medio lleno,
	3 vasos vacíos,
Al segundo le corresponderán:
	2 vasos llenos,
	3 medio llenos,
	2 vasos vacíos

Según ese reparto, cada socio recibirá 7 vasos y la misma cantidad de vino. Ya ve, sheik, que el problema no presenta dificultad alguna, y que si analizamos el enunciado no es difícil demostrar que él admite otra solución rigurosamente exacta³³.

 

La espiral logarítmica se presenta con frecuencia en la naturaleza. Así, por ejemplo, en el girasol aparece dicha curva notable.

Se aproximó uno de los árabes a Beremís y lo saludó respetuosamente hablando así:

-             Es mucho más difícil el problema que me preocupa. Tengo continuas transacciones con los cristianos que negocian en vinos de Ispahán. Se vende ese vino en vasos pequeños y grandes. Según nuestra invariable combinación, un vaso grande lleno vale 6 vasos pequeños vacíos; dos vasos grandes vacíos valen uno pequeño lleno. Procuro ahora saber cuántos vasos pequeños vacíos puedo cambiar por la cantidad de vino contenida en dos vasos grandes.

Aquel embrollo de valores y relaciones no intimidaron al “Hombre que calculaba”. Habituado a enfrentarse a problemas difíciles y a trabajar con números enormes, Beremís no se confundía con el enunciado de cuestiones abstrusas y aparentemente sin sentido.

-    Amigo mío –respondió, dirigiéndose al vendedor de vinos-. Tengo gran placer en aclarar esta cuestión que me parece tan sencilla como la primera. Por lo que he oído, “2 vasos grandes llenos valen 12 pequeños vacíos”. Por otra parte, si 2 grandes vacíos valen 1 pequeño lleno, y 3 pequeños vacíos valen también 1 pequeño lleno, está claro que 2 grandes vacíos valdrán 3 pequeños vacíos. Es preciso ahora, para mayor claridad, recordar de memoria los dos resultados ya obtenidos:

 

2 vasos grandes llenos valen 12 pequeños vacíos

2 vasos grandes vacíos valen 3 pequeños vacíos

De aquí sacamos la conclusión que la diferencia de los valores entre 2 grandes llenos y 2 grandes vacíos es igual a 9 pequeños vacíos. Esa diferencia se debe precisamente, a la cantidad de vino contenida en dos vasos grandes.

 

Es notable la variedad de formas geométricas que se presentan en los organismos vivos. En la figura vemos la “hélice cónica” rigurosamente dibujada en el perfil de un caracol.

Conclusión: La cantidad de vino contenida en dos vasos grandes puede ser permutada por 9 vasos pequeños vacíos.

La solución presentada por Beremís asombró a los comerciantes en vinos. Ninguno de ellos suponía que la imaginación de mi amigo fuese capaz de realizar ese prodigio.

Uno de los compañeros del sheik ofreció un poco de vino a Beremís. Este, sin embargo, como buen musulmán, agradeció el ofrecimiento pero no lo aceptó. La bebida es un pecado, y perjudica grandemente la salud y la inteligencia. Y, a fin de evitar que los mercaderes se sintiesen ofendidos con su rechazo, relató lo siguiente:

 

 

 

Figura trazada por Avicena, matemático y médico famoso, con la que pretendía demostrar cierta proposición de Euclides, y concluyó, según reza la leyenda, descubriendo el camello robado.

-             Al-Hossein³⁴, médico y matemático famoso, al llegar a Ispahán, después de una larga excursión, encontró un grupo de hombres que charlaban a la sombra de un gigantesco “betoum”³⁵. El sabio, que se hallaba en ese momento alegre y bien dispuesto, resolvió enseñar alguna cosa útil e interesante a los desconocidos.

Acercóse a ellos, y, después de saludarlos con simpatía, dijo:

-             Amigos míos. Existe una ciencia notable y muy útil a los hombres. Con la ayuda de ella se descubre todos los secretos y se revela la verdad. Esa ciencia es la Matemática. Voy a demostraros, en pocas palabras, en que radica su belleza y su poder.

Y después de proferir estas palabras, que no fueron comprendidas por sus rudos oyentes, Al-Hossein tomó un pedazo de carbón y trazó en el tronco de un árbol dos rectas cruzadas. Pretendía el sabio demostrar, con auxilio de esa figura, una propiedad enunciada por Euclides, geómetra griego: “Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales”.

 

 

La espiral logarítmica puede notarse en gran número de estos seres vivos. Las flores, las hojas y muchos animales revelan simetrías admisibles que maravillan el espíritu. Como dijo Platón, “la Geometría existe en todas partes”.

Después de trazar las rectas en posición conveniente, Al-Hossein marcó con cuidado los dos ángulos cuya igualdad pretendía demostrar con su admirable raciocinio. No había terminado la figura geométrica, cuando uno de los dos camelleros se levantó de súbito y se arrojó trémulo a los pies del sabio, murmurando con voz ronca, que expresaba gran temor:

-  ¡Fui yo, señor! ¡Fui yo! ¡Diré la verdad!

Realmente sorprendido con la inesperada actitud del beduino, Al-Hossein se dio cuenta de que había, en la confusión del camellero, un misterio que convenía conocer. Dominando, pues, la sorpresa que experimentara, dijo así:

-  Nada debes temer, amigo mío. La verdad es siempre descubierta. Vamos, confiesa todo y serás perdonado.

 

 

En el perfil de ciertas palmeras se observa una curva que los matemáticos estudian y analizan minuciosamente: es la curva logarítmica. Esta forma es adoptada por principio de economía, pues el vegetal, de ese modo, con menos cantidad de material, resiste mejor el impulso del viento. El ingeniero, después de laboriosas aplicaciones de cálculo infinitesimal, demuestra que la curva logarítmica es el perfil más conveniente para los faros.

Al oír estas palabras, el hombre confesó al sabio que había robado, días antes, el camello predilecto del visir.

Inútil es decir que Al-Hossein ignoraba aquel hurto audaz que preocupaba a todos y en torno del cual se habían hecho infructuosas pesquisas.

Descubierto, así, el autor del robo, el camello fue restituido pocas horas después a su poderoso dueño y el ladrón, amparado por el prestigio de Al-Hossein, se libró de severa sentencia, siendo perdonado³⁶.

¿Cómo explicar los motivos que llevaran al criminal a revelar su secreto? Lo sucedido era, sin embargo, muy sencillo: la figura geométrica hecha por el matemático para explicar la proposición de Euclides, era exactamente igual a la “marca” que tenía el camello robado. El ladrón, al ver la figura, creyó que AlHossein conocía su secreto y, lleno de indecible espanto, no se sintió con ánimo de ocultar la verdad.

La fama de Al-Hossein, desde ese día, se volvió, bajo el cielo de Persia, cien veces mayor.

¡No era para menos! ¡Con una simple figura geométrica descubrió al más audaz ladrón, y encontró un camello que ya se daba por perdido!

 

CAPÍTULO 9

En el cual recibimos la visita del sheik Iezid. Extraña consecuencia de la previsión de un astrólogo. La mujer y la Matemática. Beremís es invitado a enseñar Matemática a una joven. Situación singular de la misteriosa alumna. Beremís habla de su antiguo maestro, el sabio No-Elin.

En el último día de Moharran, al caer la noche, fuimos sorprendidos por la presencia, en la posada, del gran Iezid-Abul-Hamid, amigo y confidente del califa.

-  ¿Algún nuevo problema que resolver? – preguntó Beremís.

-  ¡Adivinó!... –respondió Iezid- . Me hallo en la necesidad de resolver un grave problema. Tengo una hija llamada Telassim³⁷, dotada de gran inteligencia y marcada de inclinación para los estudios. Cuando nació Telassim, consulté a un astrólogo famoso que sabía revelar el futuro por la observación de las nubes y las estrellas. Ese mago afirmó que mi hija viviría feliz hasta los 18 años; a partir de esa edad se vería amenazada por un cúmulo de desgracias lamentables. Había, no obstante, un medio de evitar que la desdicha cayese sobre ella. Telassim –añadió el mago- debía aprender las propiedades de los números y todas las operaciones que con ellos se hacen. Ahora bien: para dominar los números y hacer cálculos es necesario conocer la ciencia de Al-Carismi, es decir, la Matemática. Resolví, pues, asegurar a Telassim un futuro feliz haciendo que estudiase los misterios del Cálculo. Busqué varios “Ulemas”³⁸ de la Corte, mas no logré hallar uno solo que se sintiese capaz de enseñar Matemática a una joven de 17 años. Uno de ellos, dotado de gran talento, intentó disuadirme de tal propósito.

-  Quien quisiese enseñar canto a una jirafa, cuyas cuerdas vocales no pueden producir el menor sonido, perdería el tiempo trabajando inútilmente. La jirafa, por su propia naturaleza, no podría cantar. Del mismo modo, el cerebro femenino (explicó el monje mahometano) es incompatible con las nociones más simples de Matemática. Se basa esa incomparable ciencia en el raciocinio, en el empleo de fórmulas y principios demostrables con los poderosos recursos de la Lógica y de las Proporciones. ¿Cómo podrá una pequeña, encerrada en el “harem”³⁹ de su padre, aprender fórmulas de Álgebra y teoremas de Geometría? ¡Nunca! Es más fácil que una ballena vaya a la Meca en peregrinación, que una mujer aprenda Matemática.

-  ¿Para qué luchar contra lo imposible? ¡Mactub!⁴⁰. Si la desgracia debe caer sobre nosotros, ¡que se haga la voluntad de Alah! El mayor de los desánimos se apoderó de mí al oír aquellas palabras. Sin embargo, yendo cierta vez a visitar a mi amigo Salen Nasair, el mercader, oí referencias elogiosas del nuevo calculista persa que llegara a Bagdad. Hablóme del episodio de los ocho panes, y ese caso, narrado minuciosamente, me impresionó. Procuré conocer al talentoso matemático y fui con ese fin a la casa del visir Maluf, quedando asombrado con la solución dada al problema de los 257 camellos reducidos luego a 256.

 

 

 

La Geometría, dijo Platón, existe en todas partes. En el disco del sol, en la forma del datilero, en el arco iris, en el diamante, en la estrella de mar, en la tela de la araña y hasta en un pequeño grano de arena. En la figura de arriba vemos la forma perfecta que presenta la flor del maracuyá. Es admirable la simetría pentagonal con que están dispuestos los elementos de esa flor. Llamamos la atención del lector para una observación realmente extraordinaria: “Las simetrías de orden impar sólo se encuentran en los seres dotados de vida. La materia inorgánica sólo presenta simetría par”

El jefe Iezid, irguiendo la cabeza, miró fija y solemnemente al calculista, y añadió: - ¿Será capaz, el hermano de los árabes, de enseñar los artificios del cálculo a mi hija Telassim? Pagaré por las lecciones el precio que me indique, pudiendo, como ahora, seguir en el cargo de secretario del visir Maluf.

-    ¡Generoso sheik! -exclamó Beremís-. No encuentro motivo para rechazar vuestra invitación. En pocos meses podré enseñar a vuestra hija todas las operaciones algebraicas y el secreto de la Geometría. Se equivocan dos veces los filósofos cuando intentan medir con unidades negativas la capacidad intelectual de la mujer. La inteligencia femenina, cuando es bien orientada, puede acoger perfectamente las bellezas y secretos de la ciencia. Tarea fácil sería desmentir los conceptos injustos formulados por el sacerdote. Los historiadores citan varios ejemplos de mujeres que se hicieron célebres por su cultura matemática. En Alejandría, por ejemplo, vivió Hipatia, que enseñó la ciencia del cálculo a centenares de personas, comentó las obras de Diofanto, analizó los dificilísimos trabajos de Apolonio y rectificó todas las tablas astronómicas usadas hasta entonces. No hay motivo, oh sheik, para afligirse ni dudar. Vuestra hija aprenderá fácilmente la ciencia de Pitágoras. Deseo solamente que determinéis el día y hora en que deberá iniciar las lecciones.

Respondió el noble:

- Lo más de prisa posible. Telassim cumplió ya 17 años, y estoy ansioso por librarla de las tristes previsiones del astrólogo. Y añadió:

-             Debo advertirlo de una particularidad que no deja de tener importancia en este caso. Mi hija vive encerrada en el “harem” y nunca fue vista por hombres extraños a nuestra familia. Solo podrá, por lo tanto, oír sus lecciones de Matemática, oculta por una espesa cortina, con el rostro cubierto por un “jaique” y vigilada por dos esclavas de confianza. ¿Acepta, aun así, mi propuesta?

- Acepto con gran satisfacción –respondió Beremís-. Es evidente que el recato y pudor de una joven valen mucho más que los cálculos y las fórmulas algebraicas. Platón, filósofo y matemático, mandó colocar la leyenda siguiente en la puerta de su escuela:

“No entre si no es geómetra”.

Presentóse un día un joven de costumbres libertinas y manifestó deseos de frecuentar la academia. El maestro, sin embargo, no lo admitió, diciendo: “La Geometría es pureza y simplicidad; tu impudicia ofende a tan pura ciencia”. El célebre discípulo de Sócrates procuraba, de ese modo, demostrar que la Matemática no armoniza con la depravación y con las torpes indignidades de los espíritus inmorales. Serán, pues, encantadoras las lecciones dadas a esa joven que no conozco y cuyo rostro candoroso jamás tendré la ventura de admirar. Queriéndolo usted, podré iniciar mañana las lecciones.

- Perfectamente –asintió el jefe-. Uno de mis siervos vendrá mañana a buscarlo (¡queriendo Alá!), poco después de la segunda oración. ¡Uassalam!

Después que el jefe Iezid dejó la posada, interrogué al calculista:

-    Escucha, Beremís. Hay en todo eso un punto oscuro para mí. ¿Cómo podrás enseñar Matemática a una joven, cuando, en verdad, nunca estudiaste esa ciencia en los libros, ni tomaste lecciones de los “ulemas”? ¿Cómo aprendiste el cálculo, que aplicas con tanto brillo y oportunidad? Bien lo sé, calculista: entre pastores persas, contando ovejas, dátiles y bandadas de pájaros en vuelo por el cielo.

- Estás equivocado, “bagdalí” –replicó con serenidad el calculista-. En el tiempo enque vigilaba los rebaños de mi amo, en Persia, conocí a un viejo derviche llamado No-Elin, a quien, durante una tempestad de arena, salvé de la muerte. Desde ese día, el bondadoso anciano fue mi amigo. Era un gran sabio y me enseñó muchas cosas útiles y maravillosas. Fue con él que aprendí las reglas que permiten efectuar los cálculos con precisión y rapidez. El prudente derviche me decía: “la Matemática se funda únicamente en la verdad, sin tener en cuenta ninguna autoridad, tradición, interés o preconcepto. Lo mismo ocurre con cualquier ciencia, pero no de una manera tan clara como en la Matemática, pues, en mayor o menor grado, hay en las otras ciencias alguna cosa que se basa en la autoridad de los investigadores.” Me habló muchas veces de los grandes trabajos que los geómetras de la antigüedad habían realizado. Gracias al auxilio de ese derviche, llegaron a mi conocimiento las obras de Euclides, Thales, Pitágoras, del gran Arquímedes y de muchos otros sabios de la antigua Grecia.

Después de hacer una pequeña pausa, concluyó Beremís:

-    No-Elin me enseñaba Matemáticas haciendo curiosas figuras en la arena orayando, con la punta de una aguja, las hojas de una planta llamada “idomeg”⁴¹. Verás cómo podré enseñar Matemática lo mismo, sin ver el rostro de la que va a ser mi discípula.

-    CAPÍTULO 10

En el cual vamos al palacio de Iezid. El rencoroso Tara-Tir no confía en el calculista.

Los pájaros cautivos y los números perfectos. El “Hombre que calculaba” eXalta la caridad del sheik. Oímos una tierna y arrebatadora canción.

Sería poco más de las cuatro cuando dejamos la posada y nos dirigimos a la casa del poeta Iezid Abul-Hamid.

Guiados por un amable y diligente criado, atravesamos de prisa las calles tortuosas del barrio Mouassan, yendo a dar un suntuoso palacio que se erguía en medio de un bello jardín.

Beremís quedó encantado con el aspecto artístico que el rico Iezid procuraba dar a su residencia. En el centro del parque levantábase una gran cúpula plateada, donde los rayos solares se deshacían en fulgores rutilantes. Un gran patio, por fuerte portón de hierro, ornamentado con todos los recursos del arte, daba entrada hacia el interior.

Un segundo patio interno, con un bien cuidado jardín en su centro, dividía el edificio en dos cuerpos. Uno de ellos estaba destinado a los aposentos particulares y el otro a las salas de reunión, así como a un comedor, en el cual el sheik cenaba, a veces, en compañía de poetas y escritores.

El aspecto exterior, a pesar de la artística ornamentación del vestíbulo, era triste y sombrío. Quien reparase en las ventanas enrejadas no podía sospechar la pompa y el arte con que todos los aposentos estaban decorados.

Una galería con lindas arcadas sostenidas por nueve o diez esbeltas y delgadas columnas de mármol blanco con arcos recortados elegantes capiteles, con las paredes revestidas de azulejos en relieve y el piso de mosaico, comunicaba los dos cuerpos del edificio; dos largas escalinatas, también de mármol, conducían al jardín, donde flores de diversas formas y perfumes bordeaban un tranquilo lago.

Un vivero lleno de pájaros, adornado con mosaicos y arabescos, parecía ser lo más importante del jardín. Había allí aves de exóticos cantos de variadas formas y rutilantes plumajes. Algunas, de peregrina belleza, pertenecían a especies para mí desconocidas.

Nos recibió el dueño de casa, con mucha simpatía, viniendo a nuestro encuentro en el jardín. Se hallaba en su compañía un joven moreno, delgado y de amplios hombros, que nos resultó simpático. Tenía un modo agresivo de mirar, y la forma en que hablaba era bastante desagradable, llegando, en ciertos momentos, hasta ser insolente.

- ¿Es pues, éste el calculista? –Observó, subrayando las palabras con tono de menosprecio-. Me admira tu buena fe, querido Iezid. Vas a permitir que un mísero encantador de serpientes se aproxime y dirija la palabra a la encantadora Telassim.

¡No faltaba más! ¡Por Alah, que eres ingenuo!

Y pronunció una carcajada injuriosa.

Aquella grosería me sublevó. Tuve ímpetus de repeler la descortesía de aquel atrevido. Beremís, sin embargo, continuaba imperturbable. Era posible, tal vez, que el algebrista descubriera, en las palabras insultantes que oyera, nuevos elementos para hacer cálculos o para resolver problemas.

El poeta, mostrándose apenado por la actitud poco delicada de su amigo, dijo: - Perdone, señor calculista, el juicio precipitado que acaba de hacer mi primo “elhadj” Tara-Tir⁴². Él no conoce, ni puede evaluar su capacidad matemática, pues está por demás ocupado por el futuro de Telassim.

- No lo conozco, es claro; no me empeño mayormente en conocer los camellos que pasan por Bagdad en busca de sombra y alfalfa –replicó iracundo Tara-Tir, con insultante desprecio.

Y siguió hablando de prisa, nervioso y atropelladamente:

-  Puedo probar, en pocos minutos, primo mío, que estás completamente engañadorespecto a la capacidad de ese aventurero. Si me lo permites, yo lo confundiré con dos o tres simplezas que oí a un maestro de escuela en Mosul.

-  Seguramente –convino Iezid-. Puedes interrogar a nuestro calculista y proponerle,ahora mismo, el problema que quisieras.

-  ¿Problema? ¿Para qué? ¿Quieres confrontar a un chacal que aúlla con un “ulema”que estudia? –interrumpió groseramente-. Te aseguro que no será necesario inventar problemas para desenmascarar al “sufi”⁴³ ignorante. Llegaré al resultado que pretendo sin fatigar la memoria, más rápidamente de lo que piensas.

Y, apuntando hacia el gran criadero, interpretó a Beremís, fijando en nosotros sus pequeños ojos acerados, que brillaban inexorables:

-  Respóndame, calculista del “Patito”⁴⁴, ¿cuántos pájaros hay en ese criadero?

Beremís Samir cruzó los brazos y se puso a observar con viva atención. Sería prueba de insana, pensé tratar de contar tantos pájaros, que inquietos volaban por todos lados, ya cruzándose en el aire, ya sustituyéndose en las perchas con increíble ligereza.

Al cabo de algunos minutos se volvió el calculista hacia el generoso Iezid y le dijo: - Ruego a vos, jefe, mandéis soltar inmediatamente tres pájaros cautivos. Será de ese modo más fácil y agradable, para mí, enunciar el número total.

Aquel pedido tenía todo el aspecto de un disparate. Está claro que quien cuenta cierto número, podrá contar, fácilmente, ese número más 3.

Iezid, intrigadísimo, con el inesperado pedido del calculista, hizo comparecer al encargado del criadero y le dio órdenes para que la solicitud del calculista fuese atendida: libertados prontamente, tres lindos colibríes volaron rápidos por el cielo hacia fuera.

-             Se encuentran ahora en el criadero –declaró Beremís- cuatrocientos noventa y seis pájaros.

-             ¡Admirable! –exclamó Iezid entusiasmado-. Es así. Mi colección era de mediomillar. Descontando los tres que ahora solté y un ruiseñor que envié a Mosul, quedan precisamente 496.

La suma de los divisores de 496, menores a 496 es:

    

-  Acertó por casualidad –rezongó, lleno de rencor, el terrible Tara-Tir.

El poeta Iezid, instigado por la curiosidad, preguntó a Beremís:

-  ¿Puede decirme, amigo mío, por qué prefirió contar 496, cuando es tan sencillo contar 496 + 3, o sea 499?

-  Puedo explicarle, oh sheik, la razón de mi pedido –respondió Beremís con altivez-. Los matemáticos procuran siempre dar preferencia a los números notables y evitar los resultados inexpresivos o vulgares. Ahora bien: entre 499 y 496 no se puede dudar. El número 496 es un número perfecto y debe merecer nuestra preferencia.

-  ¿Y qué es un número perfecto? –preguntó el poeta.

-  Número perfecto –aclaró Beremís- es el que presenta la propiedad de ser igual a la suma de sus divisores, excluyéndose, claro está, el propio número. Así, por ejemplo, el número 28 presenta 5 divisores, menores que 28, son: 1, 2, 4, 7 y 14.

La suma de estos divisores,

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

por consiguiente, 28 pertenece a la categoría de los denominados números perfectos.

El número 6, también lo es. Los divisores de 6 (menores que 6) son 1, 2 y 3, cuya suma es 6. Al lado de 6 y de 28 puede figurar 496, que es también, como ya dije, un número perfecto⁴⁵.

El rencoroso Tara-Tir, sin querer oír más explicaciones, se despidió del sheik Iezid y se retiró destilando rabia, por la gran derrota sufrida al pretender poner en evidencia la falta de habilidad del calculista.

-  Ruégole señor calculista –dijo Iezid- que no se ofenda por las palabras de mi primo Tara-Tir. Tiene él, exaltado temperamento, y desde que asumió la dirección de las minas de sal en Al-Derid, se ha vuelto irascible y violento.

Comprendí que el inteligente Beremís no deseaba causar disgusto al sheik, cuando respondió lleno de bondad:

-  Dada la gran variedad de temperamentos y caracteres, no nos es posible vivir en paz con el prójimo sin refrenar nuestra ira y cultivar la paciencia. Cuando me siento herido por la injuria, procuro seguir el sabio precepto de Salomón:

Quien de repente se enfurece, es tonto; Quien es prudente, disimula el insulto.

Y, después de una pequeña pausa, continuó:

-  Estoy, sin embargo, muy agradecido al poderoso Tasra-Tir, y no le puedo guardar rencor, pues su turbulento primo me ofreció la oportunidad de hacer nueve actos de caridad.

-  ¿Cómo?

-  Cada vez que ponemos en libertad un pájaro cautivo –explicó el calculista practicamos tres actos de caridad. El primero, para con la avecilla, restituyéndole la libertad que le había sido robada; el segundo, para con nuestra conciencia, y el tercero, para con Dios.

-  Quiere decir, entonces, que si diera libertad a todos los pájaros del criadero…

-  Yo os aseguro, oh sheik, que practicando mil cuatrocientos ochenta y ocho actos de caridad –replicó prontamente Beremís, como si ya supiese de antemano el producto de 496 por 3.

Impresionado por estas palabras, el generoso Iezid ordenó que fueran puestas en libertad todas las aves que se hallaban en el criadero.

Los siervos y esclavos quedaron aterrados al oír esa orden. La colección, formada con paciencia y trabajo, valía una fortuna. En ella figuraban perdices, colibríes, faisanes multicolores, gaviotas negras, patos de Madagascar, lechuzas del Cáucaso, y varias golondrinas rarísimas de China y de la India.

-  ¡Suelten los pájaros! –ordenó nuevamente el sheik, agitando la mano resplandeciente de anillos.

Las grandes puertas de tela metálica se abrieron. En grupos, de a pares, los cautivos dejaban la prisión y esparcíanse por la arboleda del jardín.

Dijo entonces Beremís:

-  Cada ave, con las alas extendidas, es un libro de dos hojas abierto en el cielo. Esun gran crimen robar o destruir esa pequeña biblioteca de Dios.

En ese momento oímos el comienzo de una canción; la voz era tan tierna y suave, que se confundía con el trino de las golondrinas y el arrullar de las palomas. Al principio era una melodía afable y triste, llena de melancolía y recuerdo, como las endechas de un ruiseñor solitario; animóse, luego, en un crescendo vivo, en gorjeos complicados, en trinos argentinos, entrecortados con gritos de amor que contrastaban con la serenidad de la tarde, y revoloteaban por el espacio como si fueran hojas que llevara el viento. Por último volvió al tono triste del principio, lanzando una nota desgarradora que quedó flotando en la límpida atmósfera, como un suspiro de virazón:

Si yo hablase las lenguas de los hombres y de los ángeles y no tuviese caridad, sería como el metal que suena, o como la campana que tañe, ¡Nada sería!... ¡Nada sería!...

Si yo tuviese el don de la profecía y toda la ciencia, de tal manera que transportase los montes, y no tuviese caridad.

¡Nada sería!... ¡Nada sería!...

Si distribuyese todos mis bienes para el sustento de los pobres y entregase mi cuerpo para ser quemado, y no tuviese caridad.

¡Nada sería!... ¡Nada sería!...

El encanto de aquella voz parecía envolver la tierra en una ola de indefinible alegría.

El día parecía más claro, el cielo más azul y el aire más leve.

-   Es Telassim que canta –explicó el jefe al reparar en la atención con que oíamos embebidos la extraña canción.

La bandada de pájaros que revoloteaba llenaba el espacio con sus alegres notas de libertad. No eran más que 496, pero daban la impresión de que eran ¡diez mil!...

-   ¿Y de quién son esos brillantísimos versos?⁴⁶ –indagué.

-   No lo sé. Una esclava cristiana los enseñó a Telassim y ella jamás los olvidó.

Deben ser de algún poeta nazareno⁴⁷.

Subimos, y así se inició la primera lección de Matemática.

CAPÍTULO 11

Beremís inicia su curso de Matemática. El número y el universo. Una frase de Platón. La unidad y Dios. Que medir. Las partes que forman la Matemática. La Aritmética y los números. El Álgebra y las relaciones. La Geometría y las formas. La Mecánica y la Astronomía. Un sueño del rey Aldebazan. La “alumna invisible” eleva a Alah una oración.

La habitación en que Beremís debía realizar su curso de Matemática era espaciosa. Estaba dividida en el centro por una gran cortina de terciopelo rojo que descendía del techo hasta el suelo. El techo era de colores y las columnas doradas. Esparcidos sobre las alfombras se encontraban grandes almohadones de seda con leyendas del Corán.

Adornaban las paredes caprichosos arabescos azules entrelazados con hermosos versos de Antar⁴⁸, el poeta del desierto. En el centro, entre dos columnas, con letras de oro sobre fondo azul, se leía este notable dístico:

“Cuando Alah quiere bien a uno de sus servidores abre para él las puertas de la inspiración.”

La tarde declinaba; en el aire flotaba un suave perfume de incienso y rosas. Las ventanas, de pulido mármol, estaban abiertas, dejando ver el jardín y los frondosos pomares, que se extendían hasta el parduzco y triste río.

Una esclava morena, de clásica hermosura circasiana, estaba de pié, el rostro descubierto, junto a la puerta.

-  ¿Vuestra hija se halla ya presente? –preguntó Beremís al sheik.

-  Seguramente -respondió Iezid-. Le ordené estar en el otro extremo de la habitación, detrás de la cortina, desde donde podrá ver y oír, permaneciendo sí invisible para los que aquí se hallen.

Realmente, las cosas fueron dispuestas de tal manera, que ni siquiera se distinguía la sombra de la joven que iba a ser discípula de Beremís. Era muy probable que ella nos estuviera observando por algún pequeño orificio hecho en el terciopelo, e imperceptible para nosotros.

-  Pienso que es oportuno comenzar ya la primera lección –advirtió el sheik.

Y preguntó con cariño:

-  ¿Estás atenta, Telassim, hija mía?

-  Sí, padre -respondió una voz femenina de agradable timbre, desde el otro lado delaposento.

Mientras tanto Beremís se había preparado para la lección; cruzó las piernas, sentándose sobre un almohadón, en el centro de la sala. Yo procuré ser discreto, colocándome a un lado; junto a mí vino a sentarse el sheik Iezid.

Toda investigación científica, es costumbre que sea precedida por una oración. Fue, pues, así, que Beremís comenzó:

-  Nosotros Te Adoramos, Señor, e imploramos Tu divina providencia. Condúcenos por el camino de la verdad; por el camino de los iluminados y bienamados por Ti.

Terminada la oración, así habló:

-  Cuando miramos, señora, hacia el cielo, en las noches límpidas y calmas, sentimos que nuestra inteligencia es pequeña para concebir las obras maravillosas del Creador. Delante de nuestra mirada sorprendida, las estrellas son una caravana luminosa que desfila por el desierto insondable del infinito; las nebulosas inmensas y los planetas giran según leyes eternas por los abismos del espacio. Una noción surge, entretanto, bien nítida, en nuestro espíritu: la noción de número.

Vivió otrora, en Grecia, cuando ese país era dominado por el paganismo, un filósofo notable llamado Platón. (Alah es, sin embargo, más sabio). Consultado por un discípulo sobre las fuerzas dominantes de los destinos del hombre, el gran sabio respondió: “Los números gobiernan el mundo”.

Realmente es así. El pensamiento más simple no puede ser formulado sin que en él se involucre, bajo múltiples aspectos, el concepto fundamental de número. El beduino que en medio del desierto, en el momento de la oración, murmura el nombre de Dios, tiene su espíritu dominado por un número: ¡La Unidad! Sí; Dios, según las verdades escritas en el Libro Santo y repetidas por el Profeta, es Uno, eterno e inmutable. Luego, el número Uno aparece en el cuadro de nuestra inteligencia como el símbolo del propio Creador.

Del número, señora, que es la base de la razón y del entendimiento, surge otra noción de indiscutible importancia: la noción de medida.

Medir, señora, es comparar. Por lo tanto, solo son susceptibles de medirse las magnitudes que admiten un elemento como base de comparación. ¿Será posible medir la extensión del espacio? De ningún modo. El espacio es infinito y, siendo así, no admite término de comparación. ¿Será posible avaluar la eternidad? De ninguna manera. Dentro de las posibilidades humanas, el tiempo es siempre finito, y en el cálculo de la Eternidad no puede lo efímero servir de unidad de evaluación.

En muchos casos, sin embargo, nos es posible representar una magnitud que no se adapte a los sistemas de medida, por otra que pueda ser avaluada con exactitud. Ese cambio de magnitudes, tendiente a simplificar los procesos de medidas, constituye el objeto principal de una ciencia, que los hombres denominan Matemática. Para alcanzar su objetivo, precisa la Matemática estudiar los números, sus propiedades y transformaciones. En esa parte ella toma el nombre de Aritmética. Conocidos los números, es posible aplicarlos a la evaluación de magnitudes que varían, o que son desconocidas, pero que se presentan expresadas por medio de relaciones y fórmulas. Tenemos así el Álgebra. Los valores que medimos en el campo de la realidad son representados por cuerpos materiales o por símbolos; en cualquier caso, esos cuerpos o esos símbolos están dotados por tres atributos: forma, tamaño y posición. Es necesario, pues, estudiar estos tres atributos; ese estudio constituye el objeto de la Geometría.

Estudia, además, la Matemática, las leyes que rigen los movimientos y las fuerzas, leyes que aparecen en la admirable ciencia que se denomina Mecánica.

La Matemática pone todos sus recursos al servicio de una ciencia que eleva el alma y engrandece al hombre. Esa ciencia es la Astronomía.

Hablan algunos de las Ciencias Matemáticas, como si la Aritmética, el Álgebra y la Geometría fuesen partes enteramente distintas. No es así, sin embargo. Todas se auxilian mutuamente, apoyándose unas en las otras, y, en ciertos puntos, se confunden.

Hay una ciencia única, la Matemática, la cual nadie se puede jactar de conocer, porque sus conocimientos son, por su naturaleza, infinitos, y de la cual todos hablan, sobre todo los que más la ignoran.

Entre los hombres que la estudian y la conocen hay, sin embargo, algunos que más se fijan en minucias que en las ideas generales, siendo, por lo tanto, sus descubrimientos de escasa importancia.

Nárrase que Moisés se encontró, cierta vez, en las playas de Judea, con El-Quíder⁴⁹, el más grande entre los sabios de la Tierra. Se hallaban los dos grandes Maestros conversando sobre los más altos problemas de la Vida y del Destino, cuando se acercó a ellos un pajarito que traía en el pico una gota de agua de mar. La pequeña avecilla, sin interrumpir el vuelo, dejó caer la gota sobre el hombro de El-Quíder. Él, que era sabio entre los sabios, dijo entonces a Moisés:

“¡Profeta de Dios! Ese pájaro acaba de enseñarnos una profunda verdad, mostrándonos de una manera elocuente, que la ciencia de Moisés, que es incalculable, acrecentada con paciencia de El-Quíder, que es bien poca, y la de todos los sabios de la Tierra –delante de la ciencia de Dios- es como una gota de agua comparada con el mar.”

La Matemática, señora, enseña al hombre a ser sencillo y modesto; es la base de todas las ciencias y todas las artes. Aldebazan, rey de Irak, descansando cierta vez en la galería de su palacio, soñó que encontraba siete jóvenes que caminaban por una ruta. En cierto momento, vencidas por la fatiga y por la sed, las jóvenes se detuvieron bajo el sol calcinante del desierto. Apareció, entonces, una hermosa princesa que se aproximó a las peregrinas, trayéndoles un gran cántaro de agua pura y fresca. La bondadosa princesa sació la sed que devoraba a las jóvenes, y éstas pudieron reanudar su interrumpida jornada.

Al despertar, impresionado con ese curioso sueño, decidió Aldebazan entrevistarse con un astrólogo famoso, llamado Sanib, a cual consultó sobre el significado de aquella escena en la que él –rey poderoso y justo- asistiera en el mundo de las visiones y fantasías. Dijo Sanib, el astrólogo “¡Señor! Las siete jóvenes que caminaban por la ruta, eran las artes divinas y las ciencias humanas: la Pintura, la Música, la Escultura; la Arquitectura, la Retórica, la Dialéctica y la Filosofía. La princesa que las socorrió representa la grande y prodigiosa Matemática. Sin el auxilio de la Matemática –prosiguió el sabio- las artes no pueden progresar, y todas las otras ciencias perecen.” Impresionado el rey por lo que oía, determinó que se organizasen en todas las ciudades, oasis y aldeas de su país, centros de estudios matemáticos. Elocuentes y hábiles “ulemas”, iban por orden del soberano recorriendo los bazares y caravanas, enseñando Aritmética a los caballeros y beduinos. En las paredes de las mezquitas y en las puertas de los palacios, los versos de los poetas famosos fueron sustituidos por fórmulas algebraicas y por cálculos numéricos.

Al cabo de pocos meses aconteció que el país atravesaba por una era de prosperidad. Paralelamente al progreso de la ciencia, crecían los recursos naturales del país, las escuelas estaban repletas; el comercio se acrecentaba en forma prodigiosa; multiplicábanse las obras de arte; levantábanse monumentos, y las ciudades estaban colmadas de turistas y curiosos. El país de Irak tenía abiertas las puertas al Progreso y a la Riqueza, si no hubiese la fatalidad, (¡Mactub!) puesto el término a aquel período de trabajo y prosperidad. El rey Aldebazan, acometido por repentina enfermedad, murió, siendo llevado por el maligno Azrail⁵⁰ para el cielo de Alah. La muerte del soberano abrió dos tumbas. Una de ellas acogió el cuerpo del glorioso Monarca, y la otra la cultura científica del pueblo. Subió al trono un príncipe vanidoso, indolente y de limitadas dotes intelectuales. Le preocupaban más las diversiones que los problemas Administrativos del Estado. Pocos meses después, todos los servicios públicos estaban desorganizados; las escuelas cerradas, y los artistas y “ulemas”, forzados huir bajo la amenaza de los malvados y ladrones. El tesoro público fue dilapidado en múltiples festines y desenfrenados banquetes. El país de Irak, llevado a la ruina por el desorden, fue atacado por enemigos ambiciosos, y vencido.

La historia de Aldebazan, señora, nos demuestra que el progreso de un pueblo se halla ligado al desenvolvimiento de los estudios matemáticos⁵¹. En el Universo todo es número y medida. La Unidad, símbolo del Creador, es el principio de todas las cosas, las cuales no existen sino en virtud de inmutables proporciones y relaciones numéricas. Todos los grandes enigmas de la Vida pueden ser reducidos a simples combinaciones de elementos variables o constantes, conocidos o desconocidos.

Para que podamos conocer la Ciencia es necesario tomar un número por fase.

Veremos cómo estudiarlo con la ayuda de Alah, Clemente y Misericordioso.

 - ¡Uaasalam!

Con estas palabras concluyó el calculista, dando por terminada su primera clase de Matemática.

Con agradable sorpresa oímos, entonces a la alumna, a quien hacía invisible la cortina, pronunciar la siguiente oración:

“¡Oh Dios Omnipotente, Creador del Cielo y de la Tierra! Perdona la pobreza, pequeñez y puerilidad de nuestros corazones. No escuches nuestros pedidos, pero oye el clamor de nuestras necesidades; no atiendas nuestros pedidos, pero ten en cuenta nuestros silenciosos gemidos. ¡Cuántas veces pedimos aquello que tuvimos y que dejamos perder! ¡Cuántas veces soñamos poseer aquello que nunca será nuestro! ¡Oh Dios! Nosotros te agradecemos por este Universo, que es nuestro grande hogar, por su vastedad y riqueza, y por la vida multiforme que en él eXiste y de la cual formamos parte. Loámoste por el esplendor del cielo azul y por la brisa de la tarde, por las veloces nubes y por las constelaciones de las alturas. Loámoste por los océanos inmensos, por el agua que corre, por las montañas eternas, por los árboles frondosos, por el suave césped en que reposan nuestros pies. ¡Nosotros te agradecemos los múltiples encantos con que podemos experimentar en nuestras almas las bellezas de la Vida y el Amor! ¡Oh Dios, Clemente y Misericordioso!

Perdona la pobreza, la pequeñez y la puerilidad de nuestros corazones.”

CAPÍTULO 12

En el cual veo a Beremís interesado en el juego de saltar con cuerda. La curva del “baq-taque” y las arañas. Pitágoras y el círculo. Encontramos a Harid Namur. El problema de los 60 melones. Cómo perdió el intendente la apuesta. La voz del muezín ciego llama a los creyentes para la oración de “mogreb”.

Cuando dejamos el hermoso palacio del poeta Iezid, faltaba poco para la hora del “ezzan”. Al pasar por el “marabú” de Ramir oí el suave gorjeo de un pájaro entre las ramas de una vieja higuera.

-  Es, con seguridad, uno de los libertos de hoy –observé-. Reconforta oírlos traduciren melódicos cantos, la alegría de la libertad reconquistada.

Beremís, sin embargo, en aquel momento nos se preocupaba por el canto del pájaro. Absorbía su atención un grupo de pequeños que se divertían en la calle, a corta distancia. Dos de ellos sostenían, por los extremos, un trozo de cuerda fina que debía tener catorce o quince palmos de extensión. Los otros trataban de trasponer de un salto, la cuerda, colocada más o menos alta, conforme a la agilidad del saltador.

-  Mira la cuerda, “bagdalí” –dijo el calculista, tomándome por el brazo-, ¡Observaqué curva perfecta! ¿No la hallas digna de estudio?

-  Pues, amigo mío –dijo Beremís-: convéncete de que tus ojos son ciegos para las más grandes bellezas y maravillas de la Naturaleza. Cuando los niños tienen la cuerda, sosteniéndola por los extremos, dejándola caer libremente y bajo su propio peso, la cuerda forma una curva notable, pues surge como resultante de fuerzas naturales⁵². Yo tuve ocasión de observar esa curva –que el sabio No-Elin llamaba la “baq-taque”⁵³, porque tiene la forma de la joroba de ciertos dromedarios-. ¿Tendrá esa curva plana alguna analogía con las derivadas de la parábola? En lo futuro, si Alah lo quiere, los matemáticos descubrirán el medio de trazar esa curva, punto por punto, y estudiarán rigurosamente todas sus propiedades.

-  Hay, sin embargo –prosiguió-, muchas otras curvas más importantes. Debo citar, en primer lugar, el círculo⁵⁴. Pitágoras, filósofo y matemático, consideraba al círculo como la figura más perfecta, relacionándolo así con la idea de perfección. Entre todas las curvas más perfectas, el círculo es la que tiene el trazado más simple.

Beremís, interrumpiendo en ese momento la disertación apenas comenzada sobre las curvas, señaló hacia un jovencito que se hallaba a corta distancia y gritó:

-  ¡Harim Namir!

El joven se volvió rápidamente y vino alegre a nuestro encuentro. Me di cuenta entonces, que se trataba de uno de los tres hermanos que habíamos visto discutir en el desierto, cierto día, por causa de la herencia de los 35 camellos; reparto complicado, lleno de tercios y novenos, que Beremís resolvió por medio de un artificio curioso, al que ya me he referido.

-  ¡Mac Alah! – exclamó Harim, dirigiéndose a Beremís-. Ha sido el Destino quien dispuso ahora nuestro encuentro. Mi hermano Hamed se halla atribulado por una cuenta de 60 melones que nadie puede resolver.

Y Harim nos llevó a una pequeña casa en donde se encontraba su hermano Hamed Namur, en compañía de varios mercaderes.

Mostróse Hamed muy satisfecho al ver a Beremís y, volviéndose hacia los mercaderes, les dijo:

-  Este hombre que acaba de llegar, es un gran matemático. Gracias a su valiosa ayuda pusimos hallar la solución perfecta de un problema que nos parecía imposible: dividir 35 camellos entre 3 personas. Estoy seguro de que él podrá explicar, en pocos minutos, la diferencia encontrada en la venta de los 60 melones. Como era necesario informar minuciosamente a Beremís, uno de los mercaderes tomó la palabra y dijo:

-  Los dos hermanos, Harim y Named, me encargaron vender en el mercado dos partidas de melones. Harim me entregó 30 melones, que debían ser vendidos á razón de 3 por un denario; Hamed me dio, también, 30 melones, para los cuales fijó un precio más elevado, esto es, a razón de dos por un denario. Era bien claro que, terminada la venta, Harim recibiría 10 y su hermano 15 denarios. El total obtenido sería, pues, de 25 denarios. Sin embargo, al llegar a la feria, una duda me acometió: Si yo vendo primero los melones caros, pensé, peco de imparcialidad, y si vendo los más baratos primero, encontraré dificultad para colocar los otros. Lo mejor será que venda las dos partidas, al mismo tiempo. Habiéndose llegado a esa conclusión, reuní los 60 melones y comencé a venderlos a 5 por 2 denarios. El negocio se justificaba con un simple razonamiento. Si debía vender 3 por un denario y luego 2 por la misma suma, era más simple que vender 5 por 2 denarios. Vendidos los 60 melones en 12 lotes de 5 cada uno obtuve 24 denarios. ¿Cómo pagar a los dos hermanos, si uno debía recibir 10 y el otro 15 denarios? Había una diferencia de un denario, que no sabía cómo explicar, pues el negocio había sido hecho con todo cuidado. Vender 3 por un denario y 2 por 1, ¿no es lo mismo que vender 5 por 2 denarios?

-  La cuestión no tendría importancia alguna –intervino Hamed Namir- si no fuese por la intervención absurda del “vequil”⁵⁵ que vigila la feria. Habiendo oído algo sobre el caso, y no sabiendo explicar la diferencia, ha apostado 5 denarios a que esa diferencia provenía de la falta de un melón que fuera robado durante la venta.

-  El “vequil” no tiene razón –afirmó Beremís- y debe ser obligado a pagar la apuesta. La diferencia que encontró el vendedor se debe a lo siguiente: La partida de Harim se componía de 10 lotes de 3 melones cada uno. Cada lote debía ser vendido a un denario. El total de la venta sería 10 denarios. La partida de Hamed se componía de 15 lotes (con dos melones cada uno) y un total de 15 denarios. Observen que el número de lotes de una partida es diferente al de la otra. Para vender los melones en lotes de 5 cada uno, sólo los 10 primeros lotes podrían ser vendidos (sin perjuicio) por 2 denarios cada uno. Vendidos esos 10 lotes, quedan todavía 10 melones, que pertenecen exclusivamente a la partida de Hamed y que, siendo de precio más elevado, debían ser vendidos a razón de 2 por 1 denario. La diferencia de un denario resultó, pues, de la venta de los 10 últimos melones. No hubo robo alguno. De la desigualdad de los precios e las dos partidas, resultó la pérdida de un denario, que se verificó en el resultado final.

 

 

En esta figura que aclara el problema de los 60 melones. En A están representados los 30 melones que debían ser vendidos a razón de 3 por 1 denario; en B los 30 más caros, cuyo precio era de 2 por un denario. Como el dibujo nos muestra, sólo hay 10 lotes de 5 cada uno (siendo 3 de A, y 2 de B) que pueden ser vendidos sin perjuicio a razón de 2 denarios cada uno.

En ese momento la voz del “muecín”, cuyo eco vibraba en el aire al llamar a los fieles para la oración, interrumpió nuestra reunión.

-  ¡Hai al el-salah!⁵⁶ ¡Hai al el-salah!

Cada uno de nosotros procuró, sin pérdida de tiempo, hacer, según lo indica el Libro Santo, las “guci” de ritual.

El Sol ya se hallaba sobre la línea del horizonte. Había llegado la hora del “mogreb”. Desde la tercera almenara⁵⁷ de la mezquita de Omar, el “muecín” ciego llamaba, con voz pausada y ronca, a los creyentes para la oración:

-  Alah es grande y Mahoma es el verdadero enviado de Dios. ¡Venid a orar, musulmanes! ¡Venid a orar!

Los mercaderes, precedidos por Beremís, extendieron sus tapetes de colores, se sacaron las sandalias, miraron la dirección de la Ciudad Santa y exclamaron: - ¡Alah, omnipotente y misericordioso! Loado sea el Creador de los mundos visibles e invisibles. A ti, que eres el verdadero Sol del mundo; que siempre alumbras, sin tener ocaso; que con tus rayos benéficos y con tu luz, alegras y avivas todas las cosas en el Cielo y en la Tierra: Te rogamos que misericordiosamente brilles en nuestros corazones, para que la noche y la oscuridad del pecado, y la niebla del error, sean disipadas por el brillo de Tu luz en nuestros corazones, y nosotros por toda nuestra vida andemos sin tropezar, como de día, puros, alcanzando las bendiciones abundantes que tienes para nosotros.

CAPÍTULO 13

En el cual vamos al palacio del califa. Beremís es recibido por el rey. Los poetas y la Amistad. La amistad entre los hombres y la amistad entre los números. Números amigos. El califa elogia al “Hombre que calculaba”. Es exigida en palacio, la presencia de un calígrafo.

Cuatro días después, por la mañana, se nos informó que seríamos recibidos en solemne audiencia por el califa Abul-Aabas-Ahmed Al-Motacen Billah, Emir de los Creyentes, Vicario de Alah.

Aquella comunicación, tan grata para cualquier musulmán, fue recibida por Beremís y por mí con verdadera ansiedad.

Era muy posible que el soberano, al oír al sheik Iezid contar alguna de las proezas practicadas por el eximio matemático, tuviese curiosidad por conocer al “Hombre que calculaba”. No se puede explicar de otra forma nuestra presencia en la Corte, entre las figuras de más prestigio de la alta sociedad de Bagdad.

Quedé asombrado al entrar en el palacio del Emir.

Varias arcadas superpuestas, formando curvas armoniosas, y sostenidas por altas y delgadas columnas esculpidas, tenían sus basamentos ornados con finísimos mosaicos. Pude notar que esos mosaicos estaban formados por fragmentos de loza blanca y bermeja, alternando con franjas de estuque.

Los techos de los salones principales eran de color oro y azul; las paredes de todas las habitaciones se presentaban cubiertas de azulejos en relieve, y los pisos eran de mosaico.

Las cortinas, los tapices, los divanes, todo, en fin, cuanto constituía el mobiliario del palacio, demostraba la magnificencia indiscutible de un príncipe de leyenda hindú. Afuera, en los jardines, se notaba la misma pompa, realzada por la mano de la Naturaleza, perfumada por mil aromas diferentes, alfombrada con verde césped, bañada por el río, refrescada por innumerables fuentes de mármol blanco, junto a las cuales un millar de esclavas trabajaban sin cesar.

Fuimos conducidos por un ayudante del visir Ibraim Maluf hasta la Sala de las Audiencias.

Vimos al llegar, al poderoso monarca sentado en riquísimo trono de marfil y terciopelo.

Perturbóme algo la belleza sublime del salón. Todas sus paredes estaban adornadas con inscripciones admirables, hechas por el arte caprichoso de algún calígrafo genial. Las leyendas aparecían, en relieve, sobre fondo azul claro con letra pequeña y roja. Casi todas eran versos de los poetas más famosos de nuestra patria. Jarrones con flores por todas partes, flores deshojadas sobre los cojines, sobre las alfombras, o en bandejas de oro y plata primorosamente cinceladas.

Hermosas y numerosas columnas lucían, airosas, con sus capiteles y basamentos, elegantemente ornadas por el cincel de artistas árabes, que sabían, como ninguno, multiplicar ingeniosamente las figuras geométricas asociadas con flores y hojas de tulipán, azucenas y mil diversas plantas, en una armonía maravillosa de inenarrable belleza.

Se hallaban presentes siete visires, dos jueces, varios doctores y diversos dignatarios de gran prestigio.

Al honrado Maluf correspondía hacer nuestra presentación. En el desempeño de esta misión, el visir, con los codos apoyados en la cintura y las palmas de las manos hacia fuera, habló así:

-             Para satisfacer tu deseo, rey del tiempo, ordené compareciesen hoy, a esta excelsa audiencia, el calculista Beremís Samir, mi actual secretario, y su amigo Hank-Tade_Madya, auxiliar de escribiente y funcionario de palacio.

-             Sean bienvenidos, musulmanes. –respondió con sencillez el sultán-. Admiro a los sabios. Un matemático, bajo el cielo de este país, contará siempre con mi simpatía y, si fuera necesario, con mi decidida protección.

-             ¡Alah badie, ya sidi!⁵⁸ –exclamó Beremís, inclinándose delante del rey y besando, respetuoso, la tierra entre las manos⁵⁹.

Quedé inmóvil, la cabeza inclinada, los brazos cruzados, pues no habiendo sido aludido en los elogios por el soberano, no podía tener el honor de dirigirle el “zalam”.

El hombre que tenía en sus manos el destino del pueblo árabe parecía bondadoso y desprovisto de prejuicios. Tenía el rostro delgado, quemado por el sol del desierto y surcado de arrugas prematuras. Vestía con relativa sencillez. Llevaba en la cintura, bajo la faja de seda, un hermoso puñal, cuyo cabo estaba adornado con piedras preciosas. El turbante era verde con pequeñas listas blancas. El color verde es – como todos saben- lo que distingue a los descendientes de Mahoma, el Santo Profeta (¡con Él haya paz y gloria!).

-             Muchas cosas importantes quiero resolver en la audiencia de hoy –comenzó el califa-. No quiero, sin embargo, iniciar los trabajos y discutir los grandes problemas políticos, sin recibir una prueba clara y precisa que el matemático persa recomendado por mi amigo Iezid es, realmente, un gran y hábil calculista. Interpelado de ese modo Beremís por el glorioso monarca, se sintió obligado a corresponder brillantemente a la confianza que el jefe Iezid, en él depositara.

Dirigiéndose, pues, al sultán, así le habló:

-             No soy más, Comendador de los Creyentes, que un rudo pastor que acaba de ser distinguido con vuestra honrosa atención.

Y después de corta pausa prosiguió:

- Aseguran, entretanto, mis generosos amigos, que es justo incluir mi nombre entre los calculistas. Siéntome halagado por tan alta distinción, aunque pienso que, en general, los hombres son buenos calculistas. Calculista es el pescador que cuenta los peces que hay en su red; calculista es el soldado que avalora de una ojeada, cuando está en campaña, la distancia de una parasanga; el calculista es el poeta que cuenta las sílabas y mide el ritmo de los versos; calculista es el músico que aplica, en la división en compases, las leyes de la perfecta armonía; calculista es el pintor que traza las figuras según proporciones invariables, para obtener perspectiva; calculista es el humilde tejedor que dispone uno por uno, todos los hilos de su trabajo. ¡Todos, en fin, oh rey, son buenos y hábiles calculistas! Y, después de mirar a todos los nobles que rodeaban el trono, Beremís prosiguió: - Veo, con infinita alegría, que estáis rodeado de “ulemas”, y doctores; que hay, a la sombra de vuestro trono poderoso, hombres de valor que cultivan el estudio y engrandecen la ciencia. La compañía de los sabios, oh rey, es para mí el mayor tesoro. El hombre sólo vale por lo que sabe. Saber es poder. Los sabios educan por el ejemplo, y nada hay que conquiste al espíritu humano más profundamente que el ejemplo. Sin embargo, no debe el hombre cultivar la ciencia si no es para utilizarla en la práctica del bien. Sócrates, filósofo griego, afirmaba con el peso de su autoridad enorme: “Sólo es útil el conocimiento que nos hace mejores”. Séneca, otro pensador famoso, decía, incrédulo: “¿Qué importa saber que es una línea recta, si no se sabe lo que es la rectitud?” Permitidme, pues, rey generoso y justo, que rinda mi humilde homenaje a los doctores y “ulemas” que se hallan en esta sala.

Durante los trabajos diarios, observando las cosas que Alah sacó de la Nada para darles vida, aprendí a valorar los números y a transformarlos por medio de reglas prácticas y seguras. No deja de preocuparme, sin embargo, la prueba que solicitáis. Confiado en vuestra proverbial generosidad, agrádame decir que observo en esta Sala de Audiencias, demostraciones admirables y elocuentes de que la Matemática existe en todas partes. Adornan las paredes de este bello salón varios versos que contienen un total de 504 palabras, estando algunas trazadas en caracteres negros y las restantes en rojo. El calígrafo que dibujó estos versos demostró tener tanto talento e imaginación al descomponer las 504 palabras, como los poetas que escribieran esas inmortales poesías.

¡Rey magnánimo! –prosiguió Beremís-: encuentro en los versos incomparables que adornan esta Sala de Audiencias grandes elogios sobre la Amistad. Puedo leer allí, cerca de la columna, la célebre “cassida” de “Mohalhil”:

“Si mis amigos me huyeran, de mí huirían todos los tesoros.”

Un poco más abajo encuentro el elocuente pensamiento de Tarafa:

“El encanto de la vida depende únicamente de las buenas amistades que cultivamos.”

A la izquierda se destaca el profundo concepto de Hatim, de la tribu de Tai: “La buena amistad es para el hombre lo que el agua pura y límpida para el beduino sediento.”

Sí, todo eso es sublime, profundo y elocuente. La mayor belleza, sin embargo, reside en el ingenioso artificio empleado por el calígrafo para demostrar que la amistad que los versos exaltan, no existe solamente entre los seres dotados de vida y sentimientos. La amistad se halla, también entre los números.

¿Cómo descubrir –preguntaréis- entre los números, aquellos que están unidos por los lazos de la amistad matemática? ¿De qué medios se vale el geómetra para señalar en la serie numérica los elementos ligados por la estima?

En pocas palabras podré explicar en qué consiste el concepto de los números amigos en Matemática.

Consideremos, por ejemplo, los números 220 y 284.

El número 220 es divisible exactamente por los números:

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110.

Estos son los divisores de 220 menores que 220 y su suma:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

El número 284 es –a su vez- divisible exactamente por los números:

1, 2, 4, 71 y 142.

Son esos los divisores de 284 menores que 284 y su suma:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Pues bien. Hay entre esos números relaciones notables. Si sumamos los divisores de 220, arriba indicados, obtenemos una suma igual a 284; si sumamos los divisores de 284, el resultado es, precisamente, 220.

De esa relación los matemáticos llegaron a la conclusión de que los números 220 y 284 son “amigos”; es decir, que cada uno de ellos parece existir para servir, alegrar, defender u honrar al otro.

Y el calculista concluyó:

- ¡Pues bien, rey generoso y justo! Observad que las 504 palabras que forman el elogio poético de la Amistad fueron escritas en la siguiente forma:

220 en caracteres negros y 284 en caracteres rojos. Y 220 y 284 son, como ya expliqué, números amigos.

Observad, también, una relación no menos interesante: las 504 palabras forman 32 leyendas diferentes. Pues bien, la diferencia entre 284 y 220 es 64, número que, además de ser cuadrado y cubo perfecto, es precisamente igual al doble del número de leyendas dibujadas.

El infiel dirá que se trata de simples coincidencias. Sin embargo, aquel que cree en Dios y tiene la dicha de seguir las enseñanzas del Santo Profeta Mahoma (¡con Él en la oración y en la paz!), saben que las llamadas coincidencias no serían posibles si Alah no las describiese en el libro del Destino. Afirmo, pues, que el calígrafo, al descomponer el número 504 en dos porciones (220 y 284), escribió sobre la Amistad un poema que eleva a todos los hombres de alma noble y espíritu claro.

Al oír las palabras del calculista, el califa quedó extasiado. Resultaba extraordinario. Resultaba extraordinario que aquel hombre contase, de una mirada, las 504 palabras de los 32 versos y que, al contarlas, verificase que había 220 en negro y 284 en letras rojas.

- Tus palabras, calculista –dijo el rey- me han dado la certeza de que eres un geómetra de gran mérito. He quedado encantado con esa interesante relación que los algebristas denominan “amistad numérica”, y estoy ahora interesado en saber cuál fue el calígrafo que escribió, al hacer el decorado de esta habitación, los versos que sirven de adorno a estas paredes.

Es fácil verificar si la descomposición de las 504 palabras, en partes que formen números amigos, fue hecha a propósito o resultó de un capricho del Destino (obra exclusiva de Alah, el EXaltado).

Y haciendo aproximar al trono a uno de sus secretarios, el sultán Al Motacen le preguntó:

-  ¿Recuerdas Nuredín Zarur, al calígrafo que trabajó en este palacio?

-  Lo conozco muy bien –respondió prontamente el sheik-. Vive junto a la mezquitade Otman.

-  Traedlo aquí, “sejid”⁶⁰, lo más pronto posible –ordenó el califa-. Quiero interrogarlo.

-  ¡Escucho y obedezco!

Y salió a prisa a cumplir la orden del soberano.

CAPÍTULO 14

En el cual esperamos en el trono real, el regreso de Nuredín Zarur, el emisario del califa. Los músicos y las bailarinas gemelas. Como Beremís reconoció a Iclimia y Tabessan. Surge un visir envidioso que critica a Beremís. El elogio de los teóricos soñadores hecho por Beremís. El rey proclama la victoria de la teoría sobre el utilitarismo grosero.

Después que el jefe Nuredin Zarur –el emisario del rey- partió en busca del calígrafo que dibujara las 504 palabras de las leyendas de la Sala de Audiencias, entraron en ella cinco músicos egipcios que ejecutaron, con gran sentimiento, las más agradables canciones y melodías árabes. En cuanto los músicos hicieron vibrar sus laúdes, arpas cítaras y flautas, dos graciosas bailarinas djalcianas⁶¹, para mayor entretenimiento de todos, danzaron sobre una gran tarima circular. Era asombrosa la semejanza que se observaba entre las dos jóvenes esclavas. Tenían ambas el talle esbelto, las caras morenas, los ojos pintados con “colk” negro; pendientes, pulseras y collares exactamente iguales. Y para completar el parecido, se presentaban con trajes en los que no se notaba la menor diferencia.

En determinado momento el califa, que estaba de buen humor, se dirigió a Beremís y le dijo:

-             ¿Qué pensáis, calculista, de mis lindas “adjamis”?⁶² Ya habréis notado que son parecidísimas. Una de ellas se llama Iclimia⁶³ y la otra responde al tierno nombre de Tabessan.⁶⁴ Son gemelas y valen un tesoro. No encontré, hasta ahora, quien fuese capaz de distinguir, con seguridad, una de otra, cuando reaparecen después de danzar. Inclimia (¡mira bien!) es la que se encuentra ahora a la derecha; Tabessan, a la izquierda, junto a la columna nos dirige su mejor sonrisa.

-             Confieso, oh sheik del Islam⁶⁵ –respondió Beremís- que vuestras bailarinas son, realmente, irresistibles. Loado sea Alah, el Único, que creó la Belleza para modelar con ella las seductoras formas femeninas. De la mujer hermosa ya dijo el poeta:

“Mujer no eres solo obra de Dios, los hombres te están creando eternamente con la hermosura de sus corazones

y sus ansias han vestido de gloria tu juventud.” “Por ti labra el poeta su tela de oro imaginaria; el pintor regala a tu forma, día tras día, nueva inmortalidad. Por adornarte, por vestirte, por hacerte más preciosa, el mar da sus perlas, la tierra su oro, su flor los jardines del estío.” “Mujer, eres mitad mujer y mitad sueño.” ⁶⁶

Sin embargo, me parece relativamente fácil – añadió el calculista- distinguir a Iclinia de su hermana Tabessan, basta reparar en la hechura de los trajes de ambas. - ¡Cómo! –dijo el sultán-. Por los trajes no se podrá descubrir la menor diferencia, pues determiné que ambas usasen velos, blusas y mhazmas ⁶⁷ rigurosamente iguales.

-             Pido perdón, rey generoso – contradijo Beremís-, mas las costureras no acataron vuestra orden con el debido cuidado. La “mhazma” de Iclinia tiene en el borde, 312 franjas, mientras que la de Tabessan sólo posee 309 franjas. Esa diferencia de 3 franjas es suficiente para evitar la confusión entre las dos hermanas gemelas. Al oír tales palabras, el califa batió palmas, haciendo parar el baile, y ordenó que un “haquim” ⁶⁸ contase, una por una, todas las franjas que aparecían en las polleras de las bailarinas.

El resultado confirmó el cálculo de Beremís.

Iclinia tenía en el vestido 312 franjas y Tabessan 309.

- ¡Mac Alah! -exclamó el califa-. El sheik Iezid, a pesar de ser poeta, no exageró. Este calculista es realmente prodigioso. ¡Contó todas las franjas de las polleras mientras las bailarinas danzaban rápidamente sobre el tablado!

La envidia, cuando se apodera de un hombre, abre en su alma el camino a todos los sentimientos despreciables y torpes.

Había en la corte de Al-Motacen un visir llamado Nahun Ibn-Nahun, hombre malo y ruin. Viendo crecer ante el califa el prestigio de Beremís, como duna de arena formada por el simún, y aguijoneado por el despecho, ideó desprestigiar a mi talentoso amigo, colocándolo en situación falsa y ridícula. Con ese propósito se acercó al rey y le dijo:

-             Acabo de observar, Emir de los Creyentes, que el calculista persa es hábil para contar los elementos o figuras de un conjunto. Contó las quinientas y tantas palabras escritas en las paredes del salón, citó dos números amigos, habló de la diferencia 64 (que es cubo y cuadrado), y terminó contando, una por una, las franjas de las polleras de las hermosas bailarinas djalcianas.

Quedaríamos mal servidos si nuestros matemáticos se dispusieran a observar solamente cosas tan pueriles y sin utilidad práctica alguna. Realmente. ¿Qué nos importa saber si hay en los versos que nos engrandecen, 220 o 284 palabras, y si esos números son amigos o no? La preocupación de cuantos admiramos a un poeta, no es contar las letras de sus versos, ni calcular el número de ellas escritas en rojo o en negro. Tampoco nos interesa saber si en el vestido de esta bella y graciosa bailarina hay 309, 312 o 1.000 franjas. Todo eso es ridículo y de muy escaso interés para los hombres de sentimiento que cultivan la Belleza y el Arte.

El ingenio humano, amparado por la ciencia, debe consagrarse a la resolución de los grandes problemas de la vida. Los sabios –inspirados por Alah, el Exaltado- no levantaron el deslumbrante edificio de la Matemática para que esa noble ciencia viniese a tener la aplicación que le encuentra el calculista persa. Me parece, pues, un crimen, reducir la ciencia de un Euclides, de un Arquímedes o de un maravilloso Omar Cayan (¡Alah lo tenga en su gloria!), a esa mísera situación de evaluadora numérica de cosas y seres. Nos interesa, pues, ver a ese calculista aplicar las teorías (que dice poseer) en la resolución de problemas de utilidad real, esto es, problemas que se relacionen con las necesidades de la vida corriente.

-             Hay un pequeño engaño de vuestra parte, señor visir –replicó en seguida Beremís, y yo tendría a gran honra esclarecer ese pequeño error si el generoso Califa, nuestro amo y señor, me concediera permiso para dirigirle más extensamente la palabra en esta audiencia.

-             No deja de parecerme, hasta cierto punto, juiciosa –replicó el rey- la censura del visir Nahun Ibn-Nahun. Una aclaración sobre el caso es indispensable. Habla, pues.

Tus palabras orientarán la opinión de los que aquí se hallan.

-             Los doctores y “ulemas”, ¡Oh rey de los Árabes! –comenzó Beremís- no ignoran que la Matemática surgió con el despertar del alma humana; peor, no lo hizo con fines utilitarios. Fue el ansia de resolver el misterio del Universo, delante del cual los hombres son como granos de arena, que le dio el primer impulso. El verdadero desenvolvimiento resultó, ante todo, del esfuerzo en penetrar y comprender el Infinito. El progreso material de los hombres depende de las conquistas abstractas o científicas del presente, y es a los hombres de ciencia que trabajan sin ningún designio de aplicación de sus doctrinas, a los que la Humanidad será deudora en lo futuro⁶⁹. Cuando el matemático efectúa sus cálculos o busca nuevas relaciones entre los números, no lo hace con fines utilitarios. Cultivar la ciencia por la utilidad práctica, inmediata, es desvirtuar el alma de la propia ciencia.

 

 

 

 

Aparece en la amonita (concha fósil perteneciente a un molusco cefalópodo) una curva considerada entre las figuras más notables – la “espiral logarítmica”.

Privilegio grande del matemático es esa ligazón íntima y misteriosa entre él y su aspiración, que, fuera de sí mismo, casi no interesa a nadie; análogamente decimos de las aplicaciones prácticas de la ciencia que apasionan a las multitudes, y frente a las cuales él permanece aparentemente ajeno. Que ese acuerdo entre las especulaciones matemáticas y la vida práctica se expliquen por medio de argumentos matemáticos o de teorías biológicas, no importa; lo cierto es que esa relación existe y que la Historia sólo ha logrado confirmarlo. En los estudios más áridos y abstractos el matemático trabaja convencido que su labor, hoy o mañana, será útil a sus semejantes. Esa certeza de la gran utilidad de su obra permite al matemático entregarse, sin reserva y sin remordimiento, a los placeres de la imaginación creadora, sin pensar más que en su propio ideal de belleza y verdad.

¿La teoría estudiada hoy tendrá aplicaciones en lo futuro?

¿Quién podrá aclarar ese enigma ni su proyección, a través de los siglos? ¿Quién podrá, de la ecuación del presente, despejar la gran incógnita de los tiempos venideros? Sólo Alah sabe la verdad. Es muy posible que las investigaciones teóricas de hoy provean, dentro de mil o dos mil años, de preciosos recursos a la práctica. Es preciso, sin embargo, no olvidar que la Matemática, además del objetivo de resolver problemas, calcular áreas y medir volúmenes, tiene finalidades mucho más elevadas.

Por tener alto valor en el desenvolvimiento de la inteligencia y del raciocinio, es la Matemática uno de los caminos más seguros por donde puede llegar el hombre a sentir el poder del pensamiento, la magia del espíritu.

El estudio de la matemática contribuye, por sí sólo, a la formación de la personalidad; ante todo, ejercita singularmente la atención, y, de ese modo, desenvuelve, concomitantemente, la voluntad y la inteligencia; habitúa a reflexionar sobre una misma cosa que no ocupa los sentidos, a observarla en todos sus aspectos y en todas sus variantes, a compararla con otros objetos análogos, a descubrir tenues y ocultos vínculos, y a seguir, en todos sus pormenores, la extensa cadena de deducciones; de hábitos de paciencia, de precisión y de orden; inicia el razonamiento en los recursos de la Lógica; eleva y encanta por la contemplación de vastas teorías magníficamente ordenadas y resplandecientes de claridad.

La Matemática es, en fin, una de las verdades eternas y, como tal, eleva el espíritu

–del mismo modo que lo hace la contemplación de los grandes espectáculos de la Naturaleza, a través de los cuales sentimos la presencia de Dios, Eterno y Omnipotente. Hay, pues, ilustre visir Nahun Ibn-Nahun, como ya dije, un pequeño error de vuestra parte. Cuento los versos de un poema, calculo la altura de una estrella, las franjas de una pollera, mido la extensión de un país, o la fuerza de un torrente; aplico, en fin, fórmulas algebraicas y principios geométricos, sin preocuparme por el beneficio inmediato que puedan producirme mis cálculos y estudios. Sin los sueños y las fantasías, la ciencia se empequeñecería; sería una ciencia muerta. ¡Uassalam!

Las palabras elocuentes de Beremís impresionaron profundamente a los nobles y “ulemas” que rodeaban el trono.

El rey se aproximó al calculista, y, estrechándole la mano, eXclamó con gran autoridad:

- La teoría del hombre de ciencia soñador venció y vencerá siempre al utilitarismo grosero del ambicioso sin ideal filosófico.

Al oír tal sentencia, dictada por la justicia y por la razón, el envidioso Mahun IbuHahun se inclinó, dirigió un “zalam” al rey, y sin decir palabra se retiró cabizbajo de la Sala de Audiencias.

CAPÍTULO 15

En el cual Nuredin regresa a la Sala de Audiencias. La información que obtuvo de un “imman”. Como vivía el pobre calígrafo. El cuadrado lleno de números y el tablero de ajedrez. Beremís habla sobre los cuadrados mágicos. La consulta del “ulema”. El rey pide a Beremís que le cuente la leyenda del juego de ajedrez.

Nuredin no fue favorecido por la suerte al ir a desempeñar su misión. El calígrafo que el rey quería interrogar con tanto empeño sobre el caso de los “números amigos”, no se encontraba más en la ciudad de Bagdad.

A relatar las medidas que tomara para dar cumplimiento a la orden del califa, habló así el noble musulmán:

- Salí de este palacio, acompañado por tres guardias, hacia la mezquita de Otman (Alah la ennoblezca cada vez más). Me informó un viejo “imman”, que vela por la conservación del templo, que el hombre que buscaba había, efectivamente, residido algunos meses en una casa próXima. Pocos días antes, sin embargo, salió para Basora, con una caravana de vendedores de tapices y velas. Supe también que el calígrafo (cuyo nombre el “imman” ignoraba) vivía sólo, y que raras veces dejaba la pequeña y modesta habitación en que moraba. Creí necesario eXaminar esa habitación, en procura de algún indicio que facilitase la pesquisa.

 

 

Cuadrado mágico de 9 casillas

El aposento se hallaba abandonado desde el día en que el calígrafo lo dejara. Todo allí denotaba extraordinaria pobreza. Un lecho basto, colocado a un costado, era todo el mobiliario. Sobre un cajón tosco, de madera, un tablero de ajedrez y unas cuantas piezas de ese juego y, en las paredes, un cuadrado lleno de números.

Encontrando extraño que un hombre tan pobre, que llevaba una vida llena de privaciones, cultivase el juego de ajedrez y adornase las paredes con figuras de expresiones matemáticas, resolví traer esos objetos conmigo, para que nuestros “ulemas” pudieran admirar las reliquias dejadas por el viejo calígrafo.

El sultán, lleno de curiosidad por el caso, ordenó a Beremís que examinase con la atención debida el tablero y la figura que parecía más apropiada para un discípulo de Al-Carismi⁷⁰, que para adorno del cuarto de un pobre.

Después de haber observado meticulosamente el tablero y el cuadro, dijo el “Hombre que calculaba”:

- Esa interesante figura numérica, encontrada en el cuarto del calígrafo, constituye lo que llamamos un “cuadrado mágico”.

Tomemos un cuadrado y dividámoslo en 9, 16, 25 o más cuadrados iguales, que llamaremos casillas.

 

 Cuadrado mágico chino, en el cual los números (por falta de guarismos), son representados por objetos. Parece pertenecer a 2800 años A. C.

En cada una de esas casillas coloquemos un número entero. La figura obtenida será un cuadrado mágico cuando la suma de los números que figuran en una columna, en una fila, o en cualquiera de las diagonales, sea siempre la misma. Ese resultado invariable se llama constante del cuadrado, y el número de casillas de una fila, módulo del mismo.

Los números que ocupan las diferentes casillas del cuadrado mágico deben ser todos diferentes y tomados en su orden natural.

El origen de los cuadrados mágicos es oscuro. Se cree que la construcción de esas figuras constituía ya, en épocas remotas, un pasatiempo que absorbía la atención de gran número de curiosos.

Como los antiguos atribuían a ciertos números, propiedades cabalísticas, era muy natural que viesen virtudes mágicas en los arreglos especiales de esos números. Los cuadrados mágicos eran conocidos por los matemáticos chinos que vivieron cuarenta y cinco siglos antes de Mahoma.

Es imposible, sin embargo, construir un cuadrado mágico con cuatro casillas.

En la India muchos reyes usaban los cuadrados mágicos como amuletos; un sabio de Yemen afirmaba que los cuadrados preservaban de ciertas enfermedades. Un cuadrado mágico de plata, colgado del cuello, evitaba, según la creencia de cierta tribu, el contagio de la peste.

Cuando un cuadrado mágico presenta cierta propiedad –como, por ejemplo, la de poder descomponerse en varios cuadrados mágicos –lleva el nombre de hipermágico.

 

Cuadrado mágico de 16 casillas, que los matemáticos llaman “diabólico”. La constante 34 de este cuadrado mágico no solamente se obtiene sumando los números de una misma columna, o de una misma fila, o de una diagonal, sino también sumando de otras maneras cuatro números del cuadro, por ejemplo,

4+5+11+14 = 34; 4+9+6+15 = 34; 1+11+16+6 = 34, … y así de 86 modos diferentes. Véanse nuestras Notas sobre cuadrados mágicos al final de este libro.

Entre los cuadrados hipermágicos podemos citar los diabólicos. Así se denominan los cuadrados que continúan siendo mágicos aunque cambie una fila por una columna⁷¹.

Las indicaciones hechas por Beremís acerca de los cuadrados mágicos fueron oídas con gran atención por el rey y por los nobles musulmanes.

Uno de los “ulemas”, después de dirigir elogiosas palabras al “eminente Beremís Samir, del país de Irán”, aseguró que deseaba hacer una consulta al sabio calculista. La consulta era la siguiente:

- ¿Habrá un método especial para las investigaciones matemáticas, o los grandes principios y las leyes admirables de esa ciencia serán descubiertas por casualidad? La respuesta a esa delicada consulta la formuló Beremís en los siguientes términos: - No existe, ni puede existir, método general para dirigir las investigaciones, pero es evidente que la casualidad casi no interviene. El descubrimiento es siempre producto de larga reflexión y de un esfuerzo consciente en una dirección ya determinada.

El hecho más interesante, entre los que observan entonces, es, tal vez, la aparición repentina de la solución largamente buscada, a veces cuando el investigador ya hace tiempo que abandonó el asunto. Todo permite creer que esa verdadera luz mental es el resultado de un trabajo subconsciente, que representaría un papel importante en el descubrimiento.

A continuación el brillante calculista tomó el tablero de ajedrez y dijo:

-  Este viejo tablero, dividido en 64 casillas negras y blancas, se emplea, comos abéis, en un interesante juego que un hindú, llamado Lahur Sessa, inventó hace muchos siglos, para recreo de un rey de la India. El descubrimiento del juego de ajedrez se halla ligado a una leyenda que encierra cálculos y números.

-  Debe ser interesante oírla –opinó el califa.

-  Escucho y obedezco –respondió Beremís.

Y narró la historia siguiente:

CAPÍTULO 16

Leyenda sobre el juego de ajedrez, contada al califa de Bagdad, Al-Motacen Billah, Emir de los Creyentes, por Beremís Samir, el “Hombre que calculaba”.

Difícil, será descubrir, dada la vaguedad de los documentos antiguos, la época exacta en que vivió y reinó en la India un príncipe llamado Iadava, dueño de la provincia de Taligana. Sería injusto, sin embargo, ocultar que el nombre de ese soberano es mencionado por varios historiadores hindúes, como el de uno de los monarcas más generosos y ricos de su tiempo.

La guerra, con su cortejo inimitable de calamidades, amargó mucho la vida del rey Iadava, cambiando el ocio y el placer de que gozaba la realeza, en las más inquietantes tribulaciones. Fiel al deber que le imponía la Corona, de velar por la tranquilidad de sus súbditos, se vio el hombre bueno y generoso obligado a empuñar la espada para repeler, al frente de un pequeño ejército, un insólito y brutal ataque del aventurero Varangul, que se decía príncipe de Calian.

El choque violento de los dos rivales sembró de muertos los campos de Dacsina y tiñó de sangre las aguas sagradas del río Shandú. El rey Iadava tenía –según lo que revela la crítica de los historiadores- singular aptitud militar; sereno, elaboró un plan de batalla para impedir la invasión, y tan hábil y afortunado fue al ejecutarlo, que logró vencer y aniquilar por completo a los malintencionados perturbadores de la paz de su reino.

El triunfo sobre los fanáticos de Varangul le costó, desgraciadamente, grandes sacrificios; muchos jóvenes “quichatrias”⁷² pagaron con la vida la seguridad de un trono para prestigio de una dinastía; y entre los muertos, con el pecho atravesado por certera flecha, quedó en el campo de batalla el príncipe Adjamir, hijo del rey Iadava, quien patrióticamente se sacrificó en el momento culminante de la lucha, para salvar la posición que dio a los suyos la victoria final.

Terminada la cruenta campaña y asegurados los nuevos límites de su frontera, regresó el rey a su suntuoso palacio de Andra, prohibiendo, sin embargo, las ruidosas manifestaciones con que los hindúes festejan sus victorias. Encerrado en sus habitaciones, solo salía de ellas para atender a los ministros y sabios brahmanes cuando algún grave problema nacional lo obligaba a decidir, como jefe de Estado, en interés y para la felicidad de sus súbditos.

Con el correr de los días, en lugar de pagarse los recuerdos de la penosa campaña, más se agravaban la angustia y la tristeza que, desde entonces, oprimían el corazón del rey.

¿De qué le podrían servir, en verdad, los ricos palacios, los elefantes de guerra, los tesoros inmensos, si ya no vivía a su lado aquel que fuera la razón de su existencia?

¿Qué valor podrían tener, a los ojos de un padre inconsolable, las riquezas materiales, que no borrarían nunca el recuerdo del hijo desaparecido?

Los pormenores de la batalla en que pereciera el príncipe Adjamir no abandonaban su pensamiento. El infeliz monarca pasaba largas horas trazando, sobre una gran caja de arena, las diversas maniobras realizadas por las tropas durante el asalto. Un surco indicaba la marcha de la infantería; otro, paralelo, a su lado, mostraba el avance de los elefantes de guerra; un poco más abajo, representada en pequeños círculos, dispuestos con simetría, se perfilada la temida caballería, comandada por un viejo “radj”⁷³, que se decía bajo la protección de Tchandra, la diosa de la Luna. Así, por medio de gráficos, esbozaba el rey la colocación de las tropas, estando las enemigas desventajosamente colocadas, gracias a su estrategia, en el campo en que se libró la batalla decisiva.

Una vez completo el cuadro de los combatientes, con todos los detalles que pudiera evocar, borraba el rey todo, y comenzaba otra vez, como si sintiese placer en revivir los momentos de angustia y ansiedad pasados.

A la hora temprana de la mañana, en que los brahmanes llegaban al palacio para la lectura de los Vedas⁷⁴, ya se veía al rey trazando en la arena los planos de una batalla que se reproducía indefinidamente.

¡Desgraciado monarca! –murmuraban los sacerdotes, apenados-. Procede como un “sudra”⁷⁵ a quien Dios privó del uso de la razón. ¡Sólo Dhanoutara⁷⁶, poderosa y clemente, podrá salvarlo!

Y los brahmanes elevaban oraciones, quemaban raíces aromáticas, implorando a la diosa clemente y poderosa, eterna patrona de los enfermos, que amparase al soberano de Taligana.

Un día, finalmente, fue informado el rey de que un joven brahmán –pobre y modesto- solicitaba una audiencia que venía pidiendo desde hacía algún tiempo.

Como estuviese en ese momento en buena disposición de ánimo, ordenó el rey que llevaran al desconocido a su presencia.

Conducido a la gran sala del trono, fue interpelado el brahmán, como lo exigía la costumbre, por uno de los visires del rey.

- ¿Quién eres, de dónde vienes y que deseas de aquel que, por la voluntad deVichnú⁷⁷, es rey y señor de Taligana?

- Mi nombre -respondió el, joven braman- es Lahur Sessa⁷⁸, y vengo de la aldea de Manir, que está a treinta días de marcha de esta bella ciudad. Al recinto en que vivía llegó la noticia de que nuestro bondadoso rey arrastraba los días, en medio de profunda tristeza, amargado por la ausencia del hijo que le robaba la guerra. Gran mal será pare el país, me dije, si nuestro querido soberano se encierra como un brahmán ciego dentro de su propio dolor.

 Pensé, pues, en inventar un juego que pudiera distraerlo y abrir en su corazón las puertas a nuevas alegrías. Es ese insignificante obsequio que deseo, en este momento, ofrecer a nuestro rey Iadava.

Como todos los grandes principios citados en las páginas de la Historia, tenía el soberano hindú el grave defecto de ser excesivamente curioso. Cuando le informaron del objeto de que el joven bracmán era portador, no pudo contener el deseo de verlo y apreciarlo sin demora.

Lo que Sessa traía al rey Iadava consistía en un gran tablero cuadrado, dividido en sesenta y cuatro cuadraditos iguales; sobre ese tablero se colocaban dos colecciones de piezas, que se distinguían unas de otras por el color, blancas y negras, repitiendo simétricamente los motivos y subordinadas a reglas que permitían de varios modos su movimiento.

Sessa explicó con paciencia al rey, a los visires y cortesanos que rodeaban al monarca, en qué consistía el juego, enseñándoles las reglas esenciales:

-  Cada uno de los jugadores dispone de ocho piezas pequeñitas, llamadas peones. Representan la infantería que avanza sobre el enemigo para dispersarlo. Secundando la acción de los peones vienen los elefantes de guerra⁷⁹, representados por piezas mayores y más poderosas; la caballería, indispensable en el combate, aparece, igualmente, en el juego, simbolizada por dos piezas que pueden saltar como dos corceles, sobre las otras; y para intensificar el ataque, se incluyen -representando a los guerreros nobles y de prestigio -los dos visires⁸⁰ del rey. Otra pieza, dotada de amplios movimientos, más eficiente y poderosa que las demás, representará el espíritu patriótico del pueblo y será llamada la reina. Completa la colección una pieza que aislada poco vale, pero que amparada por las otras se torna muy fuerte: es el rey.

El rey Iadava, interesado por las reglas del juego, no se cansaba de interrogar al inventor:

-  ¿Y por qué la reina es más fuerte y poderosa que el mismo rey?

-  Es más poderosa -argumentó Sessa- porque la reina representa, en el juego, el patriotismo del pueblo. El poder mayor con que cuenta el rey reside, precisamente, en la exaltación cívica de sus súbditos. ¿Cómo podría el rey resistir los ataques de sus adversarios, si no contase con el espíritu de abnegación y sacrificio de aquellos que lo rodean y velan por la integridad de la patria?

 En pocas horas el monarca aprendió las reglas del juego, consiguiendo derrotar a sus visires en partidas que se desenvolvían impecablemente sobre el tablero. Sessa, de vez en cuando, intervenía respetuoso, para aclarar una duda o sugerir un nuevo plan de ataque o de defensa.

En determinado momento el rey hizo notar, con gran sorpresa que la posición de las piezas, por las combinaciones resultantes de diversos lances, parecía reproducir exactamente la batalla de Dacsina.

-  Observad –dijo el inteligente brahmán- que para conseguir la victoria es imprescindible el sacrificio de este visir.

E indicó precisamente la pieza que el rey Iadava, en el desarrollo del juego, pusiera gran empeño en defender y conservar.

El juicioso Sessa demostraba, de ese modo, que el sacrificio de un príncipe es a veces impuesto como una fatalidad, para que de él resulten la paz y la libertad de un pueblo.

Al oír tales palabras, exclamó el rey Iadava, sin ocultar su entusiasmo:

- No creí nunca, que el ingenio humano pudiera producir maravillas como este juego, tan interesante al par que instructivo. Moviendo esas simples piezas, aprendí que un rey nada vale sin el auxilio y la dedicación constante de sus súbditos, y que, a veces, el sacrificio de un simple peón vale más, para la victoria, que la pérdida de una poderosa pieza.

Y, dirigiéndose al joven brahmán le dijo:

- Quiero recompensarle, amigo mío, por este maravilloso obsequio, que de tanto me sirvió para aliviar viejas angustias. Pide, pues, lo que desees, para que yo pueda demostrar, una vez más, como soy de agradecido con aquellos que son dignos de una recompensa.

Las palabras con que el rey traducía su agradecimiento dejaron indiferente a Sessa. Su fisonomía serena no traducía la menor emoción ni la más insignificante muestra de alegría o sorpresa. Los visires miraban atónitos y asombrados su apatía ante un ofrecimiento tan magnánimo.

- Rey todopoderoso -recriminó el joven con suavidad y altivez. No deseo, por el presente que hoy os traje, otra recompensa que la satisfacción de haber proporcionado al señor de Taligana un pasatiempo agradable para aligerar el peso de las horas alargadas por agobiadora melancolía. Yo estoy, por lo tanto, sobradamente recompensado, y toda otra paga sería excesiva.

Sonrió, desdeñosamente, el bondadoso soberano al oír aquella respuesta, que reflejaba u desinterés tan raro entre los hindúes. Y, no creyendo en la sinceridad de las palabras de Sessa, insistió:

- Me causa asombro tanto desamor y desdén por las cosas materiales, joven. La modestia, cuando es excesiva, es como el viento que apaga la antorcha, dejando al viandante en las tinieblas de una noche interminable. Para que el hombre pueda vencer los múltiples obstáculos que le depara la vida, precisa tener el espíritu sujeto a una ambición que lo impulse hacia un ideal cualquiera. Exijo, por tanto, que escojas si demora, una recompensa digna de tu valioso regalo. ¿Quieres una bolsa llena de oro? ¿Deseas un arca llena de joyas? ¿Pensaste en poseer un palacio? ¿Aspiras a la administración de una provincia? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra está ligada a una promesa.

- No admitir vuestro ofrecimiento después de vuestras últimas palabras -respondió Sessa-, más que descortesía sería desobediencia al rey. Voy, pues, a aceptar por el juego que inventé, una recompensa que corresponda a vuestra generosidad; no deseo, sin embargo, ni oro, ni tierras, ni palacios. Deseo mi recompensa en granos de trigo.

- ¿Granos de trigo? –exclamó el rey, sin ocultar la sorpresa que le causara semejante propuesta-. ¿Cómo podré pagarle con tan insignificante moneda? - Nada más simple –aclaró Sessa-. Dadme un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así duplicando sucesivamente hasta la sexagésima cuarta y última casilla del tablero. Ruego a vos, rey generoso, que de acuerdo con vuestra magnífica oferta, ordenéis el pago en granos de trigo, y así como te indiqué.

No sólo el rey, sino los visires y venerables brahmanes, se rieron estrepitosamente al oír la extraña solicitud del joven. La falta de ambición que se traducía en aquel pedido era, en verdad, como para causar asombro aun al que menos apego tuviese a las cosas materiales de la vida. ¡El joven brahmán, que pudo obtener del rey un palacio o una provincia, se conformaba con granos de trigo!

- Insensato -exclamó el rey-. ¿Dónde aprendiste tan grande indiferencia por la fortuna?

- La recompensa que me pides es ridícula. Bien sabes que en un puñado de trigo hay un número enorme de granos. Debes darte cuenta de que con dos o tres medidas de trigo te pagaré holgadamente, conforme tu pedido, por las 64 casillas del tablero. Has elegido una recompensa que no alcanzaría ni para distraer algunos días el hambre del último “paria”⁸¹ de mi reino. En fin, ya que mi palabra fue empeñada, ordenaré que el pago se haga inmediatamente conforme a tu deseo. Mandó llamar el rey a los algebristas más hábiles de la Corte y les ordenó calculasen la porción de trigo que Sessa pretendía.

Los sabios matemáticos, al cabo de algunas horas de profundos estudios, volvieron al salón para hacer conocer al rey el resultado completo de sus cálculos.

Preguntóles el rey, interrumpiendo el juego:

- ¿Con cuántos granos de trigo podré cumplir, finalmente, con la promesa hecha al joven Sessa?

- Rey magnánimo -declaró el más sabio de los geómetras-: calculamos el número de granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por Sessa, y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana⁸².

Hallamos en seguida, y con la mayor exactitud, a cuántas “ceiras”⁸³ correspondería ese número total de granos, y llegamos a la siguiente conclusión: la cantidad de trigo que debe entregarse a Lahur Sessa equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, debe entregarse al joven Sessa.

¿Cómo describir aquí la sorpresa y el asombro que esas palabras causaron al rey Iadava y a sus dignos visires? El soberano hindú se veía, por primera vez, en la imposibilidad de cumplir una promesa.

Lahur Sessa –refiere la leyenda de la época-, como buen súbdito, no quiso dejar afligido a su soberano. Después de declarar públicamente que se desdecía del pedido que formulara, se dirigió respetuosamente al monarca y prosiguió:

- Maldita, ¡oh rey!, sobre la gran verdad que los brahmanes prudentes tantas veces repiten: los hombres más precavidos, eluden no solo la apariencia engañosa de los números sino también la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz de aquel que toma sobre sus hombros los compromisos de honor por una deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Más previsor es el que mucho pondera y poco promete.

 Y después de ligera pausa, continuó:

- Aprendemos menos con las lecciones de los brahmanes que con la experiencia directa de la vida y de sus lecciones diarias, siempre desdeñadas. El hombre que más vive, más sujeto está a las inquietudes morales, aunque no quiera. Hállase ora triste, ora alegre; hoy vehemente, mañana indiferente; ya activo, ya indolente; la compostura, la corrección, alternará con la liviandad. Sólo el verdadero sabio, instruido en las reglas espirituales, se eleva por encima de esas vicisitudes, pasando por sobre todas esas alternativas.

Esas inesperadas y sabias palabras quedaron profundamente grabadas en el espíritu del rey. Olvidando la montaña de trigo que, si querer, prometiera al joven brahmán, lo nombró su primer ministro.

Y Lahur Sessa, distrayendo al rey con ingeniosas partidas de ajedrez y orientándolo con sabios y prudentes consejos, prestó los más señalados servicios a su pueblo y a su país, para mayor seguridad del trono y mayor gloria de su patria.

Encantado quedó el califa Al-Motacen cuando Beremís terminó la singular historia del juego de ajedrez. Llamó al jefe de sus escribas y ordenó que la leyenda de Sessa fuese escrita en hojas especiales de pergamino y conservada en hermoso cofre de plata.

En seguida, el generoso soberano ordenó se entregara al calculista un manto de honor y 100 sequíes de oro.

A todos causó gran alegría el acto de magnificencia del soberano de Bagdad. Los cortesanos que permanecían en la Sala de Audiencias eran todos amigos del visir Maluf y del poeta Iezid; era, pues, con simpatía, que oían las palabras del calculista persa, por quien se interesaban vivamente.

Beremís, después de agradecer al soberano los presentes con que acababa de ser distinguido, se retiró de la Sala de Audiencias. El califa iba a iniciar el estudio y a juzgar varios casos, oír a los “cadis”⁸⁴ y a dictar sus sabias sentencias.

Dejamos el palacio real al caer la noche y cuando comenzaba el mes de Cha-band⁸⁵.

CAPÍTULO 17

En el cual el “Hombre que calculaba” recibe innumerables consultas. Creencias y supersticiones. Unidad y figura. El cuentista y el calculista. El caso de las 90 manzanas. La Ciencia y la Caridad.

A partir del célebre día en que estuvimos, por primera vez, en la Sala de Audiencias del Califa, nuestra vida sufrió profundas modificaciones. La fama de Beremís aumentó considerablemente. En la modesta fonda en que vivíamos, los visitantes y conocidos no perdían oportunidad de lisonjearlo con repetidas demostraciones de simpatía y respetuosos saludos.

Todos los días veíase obligado el calculista a atender decenas de consultas. Una vez era un cobrador de impuestos que necesitaba conocer el número de “ratls” impuestos en un “abás” y la relación entre esa unidad y el “cate”⁸⁶; aparecía, en seguida, un “hequim” ansioso por oír a Beremís una explicación sobre la cura de ciertas fiebres por medio de siete nudos hechos en una cuerda; más de una vez el calculista fue llamado por los camelleros que querían saber cuántas veces debía un hombre saltar una hoguera para librarse del Demonio. Aparecían a veces, al caer de la noche, soldados turcos, de aviesa mirada, que deseaban aprender medios seguros para ganar en el juego de los dados. Tropecé, muchas veces, con mujeres – ocultas por espesos velos- que venían, tímidas, a consultar al matemático sobre los números que debían tatuarse en el antebrazo izquierdo para tener buena suerte, alegría y riqueza.

A todos atendía Beremís Samir con paciencia y bondad. Aclaraba las dudas a algunos, daba consejos a otros. Procuraba destruir las creencias y supersticiones de los mediocres e ignorantes, mostrándoles que ninguna relación puede existir., por la voluntad de Alah, entre los números y las alegrías o tristezas del corazón.

Y procedía así, guiado por elevado sentimiento de altruismo, sin perseguir lucro ni recompensas. Rechazaba sistemáticamente el dinero que le ofrecían, y cuando algún rico “sheik”, a quien enseñara, insistía en pagar la consulta, Beremís recibía la bolsa llena de denarios, agradecía la limosna y mandaba distribuirla íntegramente entre los pobres del barrio.

Cierta vez un mercader, llamado Aziz Neman, trayendo un papel lleno de números y cuentas, vino a quejarse de un socio, a quien llamaba “miserable ladrón”, “chacal inmundo” y otros epítetos no menos insultantes. Beremís procuró calmar el ánimo exaltado del comerciante, llamándolo al camino de la humildad.

- Cuídate –aconsejó- de los juicios hechos en un momento de arrebato, porque estos desfiguran muchas veces la verdad. Aquel que mira a través de un vidrio de color, ve todas las cosas del color de ese vidrio; si el vidrio es rojo, todo le parecerá rojizo; si es amarillo, todo se le presentará amarillento. El apasionamiento es para nosotros, lo que el color del vidrio para los ojos. Si alguien nos agrada, todo lo aplaudimos y disculpamos; si, por el contrario, nos molesta, todo lo condenamos o interpretamos de modo desfavorable.

En seguida examinó con paciencia las cuentas, y descubrió en ellas varios errores que desvirtuaban los resultados. Aziz se convenció de que había sido injusto con el socio, y quedó tan encantado con la manera inteligente y conciliadora de Beremís, que nos convidó aquella noche a efectuar un paseo por la ciudad.

Nos llevó nuestro cumplido compañero hasta el café Bazarique, situado en el eXtremo de la plaza de Otman.

Un famoso cuentista, en el medio de la sala llena de espeso humo, mantenía la atención de un numeroso grupo de oyentes.

Tuvimos la suerte de llegar en el preciso momento en el que el “sheik” El-Medah⁸⁷, habiendo terminado la acostumbrada oración inaugural, empezaba la narración. Era un hombre de más o menos cincuenta y seis años, moreno, de oscurísima barba y de ojos centellantes; usaba, como casi todos los cuentistas de Bagdad, un amplísimo paño blanco, ceñido en torno a su cabeza con una cuerda de pelo de camello, que le daba la majestad de un sacerdote antiguo. Hablaba en voz alta y enérgica erguido en medio del círculo de oyentes, acompañado por dos sumisos ejecutantes de laúd y tambor. Narraba, con entusiasmo, una historia de amor, intercalada con las vicisitudes de la vida de un sultán. Los oyentes, atentos, no perdían una sola palabra. El gesto del “sheik” era tan arrebatado, su voz tan expresiva y su rostro tan elocuente, que a veces daba la impresión de que vivía las aventuras que creaba su fantasía. Hablaba de un largo viaje; imitaba el paso del caballo cansado, y señalaba hacia grandes horizontes más allá del desierto. A veces fingía ser un beduino sediento procurando hallar a su alrededor una gota de agua; otras dejaba caer la cabeza y los brazos como un hombre postrado.

Árabes, armenios, egipcios, persas y nómades de Hedjaz, inmóviles, sin respirar, observaban atentos las expresiones del rostro del orador. En aquel momento, dejaban traslucir, con el alma en los ojos, toda la ingenuidad y frescura de sentimientos que ocultaban bajo una apariencia de salvaje dureza. El cuentista se movía para la derecha y para la izquierda, se cubría el rostro con las manos levantaba los brazos al cielo, y, a medida que aumentaba su entusiasmo y levantaba la voz, los músicos batían y tocaban con más fuerza. La narración entusiasmó a los beduinos; al terminar, los aplausos ensordecían.

El mercader Aziz Neman, que parecía muy popular en aquella barullenta reunión, se adelantó hacia el centro de la rueda y comunicó al “sheik”, en tono solemne y decidido:

-  ¡Hállase presente el hermano de los árabes, el célebre Beremís Samir, el calculista persa, secretario del visir Maluf!

Centenares de ojos convergieron en Beremís, cuya presencia era un honor para los parroquianos del café.

El cuentista, después de dirigir un respetuoso “zalam” al “Hombre que calculaba”, dijo con bien timbrada voz:

-  Mis amigos: he contado muchas historias de reyes, genios y magos. En homenaje al brillante calculista que acaba de entrar, voy a contar una historia que envuelve un problema cuya solución, hasta ahora, no fue descubierta.

-  ¡Muy bien! ¡Muy bien! –exclamaron los oyentes.

El “sheik” evocó el nombre de Alah (¡con él en la oración y en la gloria!), y en seguida contó esta historia:

-  Vivía una vez en Damasco un buen y trabajador aldeano que tenía tres hijas. Un día, conversando con un “cadí”, declaró el campesino que sus hijas estaban dotadas de gran inteligencia y de raro poder imaginativo.

El “cadí”, envidioso, irritose al oír elogiar al rústico el talento de las jóvenes, y dijo: - Ya es la quinta vez que oigo de tu boca elogios exagerados que exaltan la sabiduría de tus hijas. Voy a probar si ellas son, como afirmas, tan ingeniosas y perspicaces.

Mandó el “cadí” llamar a las muchachas y les dijo:

-  Aquí hay 90 manzanas que ustedes deberán vender en el mercado. Fátima, que es la mayor, llevará 50; Cunda llevará 30, y la pequeña Siha venderá las 10 restantes. Si Fátima vende las manzanas a 7 por un denario, las otras deberán hacerlo por el mismo precio, esto es, a 7 por un denario; si Fátima fija como precio para la venta, tres denarios cada una, ese será el precio por el cual Cunda y Siha deberán vender las que llevan. El negocio debe hacerse de suerte que las tres saquen, con la venta de las respectivas manzanas, la misma cantidad.

-  ¿Y no puedo deshacerme de algunas manzanas?, preguntó Fátima.

-  De ningún modo –objetó, rápidamente, el impertinente “cadí”-. La condición, repito, es esa: Fátima debe vender 50, Cunda 30 y Siha sólo podrá vender las 10 que le tocan. Y por el precio que venda Fátima venderán las otras. Hagan las ventas de modo que al final los beneficios sean iguales.

Aquel problema, así planteado, resultaba absurdo y disparatado. ¿Cómo resolverlo? Las manzanas, según la condición impuesta por el “cadí”, debían ser vendidas por el mismo precio. En esas condiciones, era evidente que la venta de las 50 manzanas debía producir mayor beneficio que la venta de las 30 ó de las 10 restantes. Como las jóvenes no atinaran con la forma de resolver el problema, fueron a consultar el caso con un imman⁸⁸ que vivía en la cercanía.

El imman, después de llenar varias hojas de números, fórmulas y ecuaciones, concluyó:

-  Pequeñas: ese problema es de una simplicidad evidente. Vendan las 90 manzanas como el viejo cadí ordenó y llegarán sin error al resultado que él mismo determinó. La indicación dada por el imman aclaraba el intrincado enigma de las 90 manzanas propuesto por el cadí.

Las jóvenes fueron al mercado y vendieron todas las manzanas: Fátima vendió las 50 que le correspondían, Cunda las 30 y Siha las 10 que llevara. El precio fue siempre el mismo para las tres, y el beneficio también. Aquí termina la historia.

Toca ahora a nuestro calculista determinar cómo fue resuelto el problema.

No bien terminó el narrador de hablar, Beremís se encaminó al centro del círculo formado por los curiosos oyentes, y dijo así:

-  No deja de ser interesante ese problema, presentado bajo forma de una historia. He oído muchas veces lo contrario; simples historias, disfrazadas de verdaderos problemas de Lógica o de Matemática. La solución para el enigma con que el malicioso cadí de Damasco quiso atormentar a las jóvenes campesinas, es la siguiente:

Fátima inició la venta fijando el precio de 7 manzanas en un denario. Vendió de ese modo, 49, y se quedó con 1, sacando en esa primera venta 7 denarios. Cunda, obligada a vender las 30 manzanas por el mismo precio, vendió 28 por 4 denarios, quedando con 2 de resto. Siha, que tenía una decena, vendió 7 por un denario y se quedó con 3 de resto.

Tenemos así, como primera faz del problema:

                      Fátima vendió 49 y se quedó con 1

                     Cunda vendió 28 y se quedó con 2

                     Siha     vendió 7 y se quedó con 3

A continuación decidió Fátima vender la manzana que le quedaba en 3 denarios. Cunda, según la condición impuesta por el cadí, vendió las 2 manzanas en 3 denarios cada una, obteniendo 6 denarios, y Siha vendió las 3 suyas del resto por 9 denarios, esto es, también a 3 denarios cada una:

 

 

 

Terminado el negocio, como es fácil verificar, cada una de las jóvenes obtuvo 10 denarios, resolviendo así el problema del cadí. Quiera Alah que los perversos sean castigados y los buenos recompensados.

El sheik El-Medah, encantado con la solución presentada por Beremís, eXclamó, levantando los brazos:

-  ¡Por la segunda sombra de Mahoma! Este joven calculista es realmente un genio. Es el primer “ulema” que descubre, sin hacer cuentas complicadas, la solución exacta y perfecta para el problema del cadí.

La multitud que llenaba el café de Otman, sugestionada por los elogios del sheik, vitoreó:

-  ¡Bravo, bravo! ¡Alah ilumine al joven “ulema”!

Era muy posible que muchos hombres no hubieran entendido la explicación de Beremís. No obstante esa pequeña restricción, los aplausos eran generales y vibrantes.

Beremís, después de imponer silencio a la barullenta concurrencia, les dijo con vehemencia:

-  Amigos míos: me veo obligado a confesar que no merezco el honroso título de “ulema”. Loco es aquel que se considera sabio cuando sólo mide la extensión de su ignorancia. ¿Qué puede valer la ciencia de los hombres delante de la ciencia de Dios?

Y antes de que ninguno de los presentes lo interrogase, narró lo siguiente:

-  Hallábase cierta vez, en presencia de Masudí⁸⁹, el gran historiador musulmán, el alquimista Aidemir ben-Alí, quien se vanagloriaba de poseer todos los secretos científicos que le hacían dueño de la tierra. Ante tan descabellada presunción, Masudí observó:

-  “Aidemir ben-Alí habla como habló otrora la hormiga que descubriera la gran montaña de azúcar.” Y, a fin de curar, de una vez para siempre, la vanidad sin límite del alquimista, el gran historiador así le contó: “Érase una vez una hormiguita que, vagando por el mundo, encontró una gran montaña de azúcar. Muy contenta con su descubrimiento, sacó de la montaña un grano y lo llevó a su hormiguero. – “¿Qué es eso?”, preguntaron sus compañeras. –“Esto es una montaña de azúcar”, replicó orgullosa. “La encontré en mi camino y resolví traerla para aquí.” –Masudí, con maliciosa ironía, concluyó así: -El sabio orgulloso es como la hormiga. ¡Trae una pequeña migaja, y casi cree llevar el propio Himalaya! La ciencia es una gran montaña de azúcar; de esa montaña sólo conseguimos retirar insignificantes trocitos.”

Un barquero de hinchadas mejillas, que se hallaba en la rueda, preguntó a Beremís:

-  ¿Cuál es la ciencia de Dios?

-  ¡La ciencia de Dios es la Caridad!

En ese momento me acordé de la admirable poesía que oyera a Telassim, en los jardines del “sheik” Iezid, cuando los pájaros fueron puestos en libertad:

Si yo hablase las lenguas de los hombres  y de los ángeles  y no tuviese caridad, sería como el metal que suena, o como la campana que tañe, ¡Nada sería!... ¡Nada sería!...

Hacia la media noche, cuando dejamos el café Bazari que, varios hombres, para testimoniarnos la consideración que nos dispensaban, vinieron a ofrecernos sus pesadas linternas, pues la noche era oscura y las calles eran tortuosas y estaban desiertas.

CAPÍTULO 18

En el cual volvemos al palacio del sheik Iezid. Una reunión de poetas y letrados. El homenaje al Maharajá de Laore. La Matemática en la India. La perla de Lilavati. Los problemas de Aritmética de los hindúes. El precio de la esclava de 20 años.

Al día siguiente, a la primera hora de “sob”⁹⁰, vino un egipcio con una carta del poeta Iezid, a buscarnos a nuestra humilde posada.

-  Todavía es muy temprano para la clase (advirtió tranquilo, Beremís). Dudo que mi paciente alumna haya sido prevenida.

El egipcio explicó que el “sheik”, antes de la clase de Matemática, deseaba presentar al calculista a su grupo de amigos. Convenía, pues, llegar más temprano al palacio del poeta.

Esta vez, por precaución, fuimos acompañados por tres esclavos negros, decididos y fuertes, pues era muy posible que el terrible y celoso Tara-Tir intentase, en el camino, asaltarnos y matar al calculista, en el cual, parece, preveía a un poderoso rival.

Una hora después, sin que nada anormal ocurriera, llegamos a la magnífica residencia del “sheik” Iezid. El esclavo egipcio nos condujo, a través de interminable galería, hasta un hermoso salón azul adornado con frisos dorados. Alí se encontraba el padre de Telassim, rodeado de varios letrados y poetas.

-  ¡Zalam aleikum!

-  ¡Masa al-quair, sheik!

-  ¡Venta ezzaiac!

Cambiados esos atentos saludos, el dueño de casa nos dirigió unas palabras amistosas convidándonos a tomar parte en aquella reunión.

Nos sentamos, sobre blandos cojines de seda. Una esclava morena, de ojos negros y vivaces, nos trajo frutas, dulces secos y agua perfumada con rosas.

Observé entonces que uno de los invitados que parecía extranjero, ostentaba en sus trajes un lujo excepcional.

Vestía una túnica de satín blanco de Génova, sostenida con un cinturón azul adornado con brillantes, y del cual colgaba un lindo puñal con el cabo de lapislázuli y zafiros. El turbante, de seda color rosa, adornado con hilos negros, tenía diseminadas piedras preciosas, y sus manos, trigueñas y finas, se veían realzadas por el brillo de los anillos que cubrían los dedos.

-             Ilustre geómetra –dijo el sheik Iezid, dirigiéndose al calculista-: noto bien que estáis sorprendido con la reunión que promoví hoy en esta humilde tienda. Debo, por tanto, informaros que esta reunión no tiene otra finalidad que la de tributar homenaje a nuestro ilustre huésped, el príncipe Cluzir-el-din Meubareo-Scha señor de Loare y Delhi.

Beremís con una leve inclinación de busto hizo un “zalam” al gran maharajá de Laore, que era el joven del cinto de brillantes.

Ya sabíamos, por las conversaciones habituales con que nos entretenían los forasteros de la posada, que el príncipe había dejado sus ricos dominios de la India para cumplir con uno de los deberes de todo buen musulmán: hacer la peregrinación a la Meca, la perla del Islam. Quedaría, por lo tanto, pocos días en Bagdad, para continuar luego, con sus numerosos siervos y ayudantes, hacia la Ciudad Santa.

-             Deseamos, calculista –prosiguió Iezid- tu ayuda para que podamos aclarar una deuda sugerida por el príncipe Cluzir Schá. ¿Cuál fue la contribución con que la ciencia de los hindúes enriqueció a la Matemática? ¿Cuáles los principales geómetras que más se destacaron en la India por sus estudios e investigaciones? - Generoso sheik –respondió Beremís-. La tarea que acabáis de encomendarme es de las que exigen erudición y serenidad. Erudición para conocer, con todos los detalles, los datos recopilados por la Historia de las Ciencias y serenidad para analizarlos y juzgarlos con elevación y discernimiento. Vuestros menores deseos, oh sheik, son, sin embargo, órdenes para mí. Expondré en esta brillante reunión, como humilde homenaje al príncipe Cluzir Schá (a quien recién he tenido el honor de conocer), las pocas nociones que aprendí en los libros sobre el desenvolvimiento de la Matemática en el país de Ganges.

Y así comenzó el “Hombre que calculaba”:

- Nueve o diez siglos antes de Mahoma, vivió en la India un bracmán ilustre que se llamaba Apastamba. Con el objeto de informar a los sacerdotes sobre los procedimientos para construir altares y orientar los templos, escribió ese sabio una obra intitulada Suba-Sultra, que contiene numerosas enseñanzas matemáticas. Es poco probable que esa obra haya recibido la influencia de los Pitagóricos⁹¹, pues la Geometría del sacerdote hindú no sigue el método de los investigadores griegos. En las páginas de Suba-Sultra se encuentran varios teoremas de Matemática y pequeñas reglas sobre construcciones de figuras. Para transformar convenientemente un altar, el prudente Apastamba construye un triángulo rectángulo cuyos lados miden, respectivamente, 39, 36 y 15. Aplica en la solución de este interesante problema el principio famoso atribuido al geómetra Pitágoras: “El cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.”

 

 

El teorema de Pitágoras, tan citado en Matemática, puede demostrarse de muchísimas maneras. Siendo A el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, B y C las de los cuadrados construidos sobre los catetos, tenemos la siguiente relación: A = B + C. La figura que traduce el teorema de Pitágoras es clásica en Matemática.

Esa proposición, señores, expresa una gran verdad. Ley eterna dictada por Dios y que la Ciencia reveló a los hombres. Antes que existiese Marte, o la Tierra o el Sol, y mucho después que dejaren de existir aquí como allá, en los mundos visibles como invisibles, -“el cuadrado construido sobre la hipotenusa fue y será siempre equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.” Todas nuestras teorías de la vida, todas las pueriles especulaciones nuestras sobre la muerte, todas las discusiones sobre los problemas del destino -todo eso es polvareda que apenas se ve en un rayo de sol, comparado con la doble eternidad, pasada y futura, de una verdad como aquella.

Pues bien; el teorema de Pitágoras es presentado por el hindú Apastamba bajo una forma muy interesante:

“La diagonal de un rectángulo produce, por si sola, lo que los lados del rectángulo producen en conjunto.”

Es posible sacar en conclusión, pues, que los hindúes, sin el auxilio de los griegos, ya conocían los triángulos rectángulos, cuyos lados están expresados por números enteros. En el primer capítulo de Suba-Sultra hay referencias al triángulo rectángulo notable, cuyos lados miden, respectivamente, 3, 4 y 5. El ilustre Apastamba menciona otros triángulos pitagóricos:

12, 16,20;

5, 12,13; 8, 15,17

y llega, por medio de fracciones simples a expresar el valor aproximado de la raíz cuadrada de 2. ⁹²

 

 

Figura que podría servir para demostrar gráficamente el teorema de Pitágoras. Los lados del triángulo miden respectivamente 5, 4 y 3. La relación pitagórica se verifica con la igualdad: 25 = 16 + 9

El valor así obtenido, Apastamba lo aplica en la construcción de un cuadrado por medio de un ingenioso artificio.

Los sacerdotes aprendían así, por la lectura de las páginas de Suba-Sultra, a transformar un rectángulo en un cuadro equivalente, cosa que, a veces, precisaban al tener que alterar la forma de un altar, sin modificar el área.

Surgieron después de Suba-Sultra varias obras de indiscutible valor en la Historia de la Matemática. Por ejemplo, Suria-Sidanta, que contiene una tabla de senos⁹³ utilizada por los astrónomos. La palabra seno, en idioma hindú, significa declive.

 

 

 

Triángulo rectángulo ya conocido y citado por los antiguos matemáticos hindúes. Conviene observar que el cuadrado (25) del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados (9 + 16) de los otros dos lados

Suria-Sidanta es el primer tratado que expone las reglas de la numeración decimal cada guarismo tiene un valor negativo y emplea el cero para indicar la ausencia de unidades de cierto orden.

No menos notable, para la ciencia de los brahmanes, es el tratado de Aria-Bata, que se divide en cuatro partes: “Armonías Celestes”, “El Tiempo y su Medida”, “Las Esferas” y “Elementos de Cálculo”. Varios son los errores que se observan en las páginas de Aria-Bata. Ese geómetra afirma que el volumen de una pirámide se obtiene “multiplicado la mitad de la base por la altura”⁹⁴ e indica como fórmulas para el cálculo de áreas de cuadriláteros, algunas que sólo son aplicables a casos particulares. Para determinar el largo de la circunferencia da Aria-Bata la siguiente regla: “Sumar 4 a 100, multiplicar por 8, sumar 62.000”; se obtiene así la longitud de la circunferencia para un círculo de dos miriámetros de diámetro.⁹⁵

 

Los Pitagóricos fueron atacados de todos modos por sus adversarios. Con estas caricaturas pretendían ridiculizar a los discípulos del célebre filósofo griego.

Una de las más curiosas e importantes obras de la literatura científica de la India es Bijaganita.

Ese nombre singular está formado por dos palabras, bija y ganita, que significan, respectivamente, semilla y cuenta. La traducción perfecta del título de la obra hindú sería: “El arte de contar semillas”.

 

 

 

Lilavati, según una curiosa leyenda, no se casó por causa de una perla desprendida de su vestido de novia, y “que hizo detener el tiempo”. Báskara, el geómetra hindú, para consolar a su hija le dijo: “- Escribiré un libro que perpetuará tu nombre.

Vivirás en el recuerdo de los hombres más de lo que hubieran vivido los hijos que pudieron haber nacido en tu malogrado matrimonio.” La obra de Báskara se hizo célebre y el nombre de Lilavati surge inmortal en la Historia de la Matemática.

El autor de ese trabajo eXtraordinario es el famoso matemático Báskara Acharia, que nació en Bidon, en la provincia de Decan, en el año 492 de la Hégira.⁹⁶ A más de Bijaganita escribió Báskara el célebre Lilavati, tratado de Álgebra y Geometría, y en los últimos años de su eXistencia hizo un pequeño libro de Astronomía, de relativa importancia, intitulado Suomani.

 

 

Es curioso el artificio que Báskara, matemático hindú, en su libro Lilavati, empleara para la determinación del área del círculo. Trazado un diámetro, cada uno de los semicírculos era dividido en un mismo número de sectores iguales. Los sectores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 que formaban uno de los semicírculos eran colocados como indica la figura, con las bases (que se suponen rectificadas) apoyadas sobre una recta AB. Los sectores a, b, c, d, e, f, g, h, i, que formaban el otro semicírculo eran colocados entre los primeros en oposición (como indica la figura) de modo de completar el paralelogramo ABCD. El área del círculo será igual al producto de la semicircunferencia por la altura (?) del círculo. La base AB de ese paralelogramo es la semicircunferencia rectificada (?).

El origen de Lilavati es muy interesante. Voy a relatarlo. Báskara tenía una hija llamada Lilavati. Cuando esta nació, él consultó a las estrellas y verificó, por la disposición de los astros, que su hija estaba condenada a quedar soltera toda la vida, no siendo requerida por los jóvenes nobles. Báskara no se conformó con esa determinación del Destino y recurrió a los astrólogos más famosos de la época. ¿Cómo hacer para que la graciosa Lilavati pudiese encontrar esposo, y ser feliz en el casamiento? Uno de los astrólogos consultados por Báskara, le aconsejó casar a Lilavati con el primer pretendiente que apareciera, pero dijo que la hora propicia para la ceremonia del enlace sería marcada, en cierto día, por el cilindro del Tiempo.

Los hindúes medían, calculaban y determinaban las horas del día con ayuda de un cilindro colocado en un recipiente lleno de agua. Ese cilindro, abierto apenas en su parte superior, tenía un pequeño orificio en el centro de la base. La cantidad de agua que entraba por el orificio llenaba lentamente el cilindro que se iba hundiendo hasta desaparecer completamente bajo el agua a una hora previamente determinada.

Con agradable sorpresa para su padre, Lilavati fue pedida en matrimonio por un joven rico y de buena familia. Fijado el día y señalada la hora, se reunieron los amigos para asistir a la ceremonia.

 

 

Esta es Lilavati, la heroína de la célebre leyenda de “La perla y el tiempo”, que es llamada en el libro de Báskara “la linda pequeña de los ojos fascinantes”.

Báskara colocó el cilindro de las horas y aguardó que el agua llegase al nivel marcado. La novia, llevada por irresistible y verdaderamente femenina curiosidad, quiso observar la subida del agua en el cilindro. Al aproximarse para acompañar la determinación del Tiempo, una de las perlas de sus vestidos se desprendió y cayó dentro del vaso.

Por una fatalidad, la perla, llevada por el agua, obstruyó el pequeño orificio del cilindro, impidiendo que pudiese entrar el agua. El novio y los convidados esperaron largo rato con paciencia. Pasó la hora fijada sin que el cilindro marcara el tiempo, como previera el sabio astrólogo. El novio y los convidados se retiraron para que fuese fijada otra fecha, después de consultar los astros.

El joven brahmán desapareció algunas semanas después, y la hija de Báskara quedó para siempre soltera.

Reconoció el inteligente geómetra que era inútil luchar contra el Destino y dijo a su hija:

Escribiré un libro que perpetuará tu nombre. Vivirás en el pensamiento de los hombres más de lo que hubieran vivido los hijos que pudieron haber nacido de tu malogrado matrimonio.

La obra de Báskara se hizo célebre y el nombre de su hija surge inmortal en la Historia de la Matemática.

En lo que se refiere a la Aritmética, Lilavati hace de las operaciones aritméticas sobre números enteros; estudia minuciosamente las cuatro operaciones, el problema de elevación al cuadrado y al cubo; enseña la extracción de la raíz cuadrada, y llega hasta el estudio de la raíz cúbica de un número cualquiera. Aborda después las operaciones con números fraccionarios, aplicando la hoy tan conocida regla de reducción a común denominador. Al final de esa parte, refiriéndose a la reducción de un número por cero⁹⁷, Báskara dice: “Ni la adición ni la sustracción, por grandes que sean, hacen disminuir o aumentar la cantidad llamada cociente por cero.”

Lilavati presenta, en seguida, reglas variadas de cálculo, algunas de carácter general, como la de inversión, que consiste, procediendo en orden inverso, en hallar un número que, sometido a una sucesión de operaciones, reproduzca un número dado, y la regla de falsa posición, que los Egipcios y los Griegos ya conocían y empleaban.

Interesantes por la forma, delicada algunas veces, rica y exuberante otras, como son presentados algunos problemas, revelan, por sus enunciados, la íntima satisfacción de quien los propuso, así como la inclinación de su espíritu a lo hermoso y al bien.

Es este un ejemplo característico:

“Amable y querida Lilavati, de dulces ojos como los de la delicada y tierna gacela, dime cuáles son los números que resultan de la multiplicación de 135 por 12.” Más adelante Báskara enseña a resolver la siguiente y delicada cuestión:

“Linda pequeña de ojos fascinantes, tú, que conoces el verdadero método de la inversión, dime cual es el número que multiplicado por 3, aumentado en las tres cuartas partes del producto, dividido por 7, disminuido en un tercio del cociente, multiplicado por sí mismo, disminuido en 52, después de la extracción de la raíz cuadrada, adicionado en 8 y dividido por 10, sea 2.”⁹⁸

No es menos interesante el problema formulado sobre un enjambre de abejas: “La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba, la tercera parte en una flor de silinda, el triple de la diferencia entre estos dos números vuela sobre una flor de krutja, y una abeja vuela indecisa de una flor de pandanus a un jazmín.”

Otros problemas tratan sobre el interés del dinero, sobre el precio de las esclavas, cuyo valor máximo, a los 16 años, correspondía al de 8 bueyes con dos años de trabajo, sobre el costo de los géneros, de los salarios, de los trasportes, etc.

El problema que relataré es uno de los incluidos en Lilavati y que pocos matemáticos sabrán resolver:

“Una pequeña de seis años es vendida por 32 niscas. ¿Cuál es el precio, en niscas, de una jovencita de 20 años?”

Es muy interesante también, la regla que Lilivati presenta para la determinación del área del círculo.

CAPÍTULO 19

En el cual el príncipe Cluzir elogia al “Hombre que calculaba”. El problema de los tres marineros. La generosidad del Maharajá de Laore. Beremís recuerda los versos de un poeta. La ciencia y el mar.

El elogio que Beremís hizo de la ciencia de los hindúes recordando una página de la Historia de la Matemática, causó inmejorable expresión en el espíritu del príncipe Cluzir-Schá. El joven soberano, impresionado por la disertación, declaró que consideraba al calculista un sabio completo, capaz de enseñar el arte de Báskara a un centenar de brahmanes.

- He quedado encantado -añadió- al oír la leyenda de la infeliz Lilavati, que perdió el novio por causa de una perla de su vestido. Los problemas de Báskara, citados por el elocuente calculista, son, realmente interesantes, y presentan, en sus enunciados, ese “espíritu poético”, que es tan difícil de hallar en las obras de Matemática. Siento, sin embargo, que el ilustre matemático no haya citado el famoso problema de los tres marineros, que aparece en el libro intitulado “Faiouentchoutin”, y que hasta ahora no tiene solución.

- Príncipe magnánimo -respondió Beremís-. Entre los problemas de Báskara por micitados no figuró el de los tres marineros, por la simple razón que no lo conozco sino vagamente, por un relato incierto y dudoso, ignorando su enunciado exacto. - Yo lo conozco perfectamente –dijo el príncipe-. Y tendría verdadero placer en recordar ahora esa cuestión, que tiene atribulados a tantos algebristas.

Y el príncipe Cluzir-Schá contó lo siguiente:

- Un navío que volvía de Serendibe⁹⁹, trayendo gran cantidad de especias, fue alcanzado por violento temporal. La embarcación habría sido destruida por las olas, si no fuera por el valor y el esfuerzo de tres marineros que, en medio de la tormenta, manejaban las velas con extremada pericia. El capitán, queriendo recompensar a los denodados marineros, les dio cierto número de “catils”. Los “catils”¹⁰⁰ eran más de doscientos y menos de trescientos. Las monedas fueron colocadas en una caja para que al día siguiente, al desembarcar, el almojarife¹⁰¹ las repartiese entre los tres valientes. Sucedió, sin embargo, que durante la noche, uno de los tres marineros se despertó y pensó: “Sería mejor que retirase mi parte. Así no tendré oportunidad de discutir con mis amigos.”

- Y, sin decir nada a los compañeros, fue, en puntas de pie, hasta donde se hallaba guardado el dinero, lo dividió en tres partes iguales y notó que la división no era exacta, ya que sobraba un “catil”. –“Por causa de esta mísera monedita, es probable que mañana haya riña y discusión. Será mejor sacarla.” Y el marinero la tiró al mar, retirándose cauteloso. Llevaba su parte y dejaba las que correspondían a sus compañeros en el mismo lugar. Horas después el segundo marinero tuvo la misma idea. Fue al arca en que se depositara el premio colectivo y lo dividió en tres partes iguales. Sobraba una moneda. El marinero optó por tirarla al mar, para evitar posibles discusiones. Y salió de allí llevando la parte que creía le correspondía. El tercer marinero, ignorando, por completo, que sus compañeros se le habían anticipado, tuvo el mismo pensamiento.

Levantóse de madrugada y fue a la caja de los “catils”. Dividió las monedas que en ella encontró, y la división tampoco resultó exacta; sobró un “catil”. No queriendo complicar el reparto, el marinero la tiró al mar y regresó satisfecho a su litera.

Al día siguiente, al desembarcar, el almojarife encontró un puñado de “catils” en la caja. Sabiendo que esas monedas pertenecían a los marineros, las dividió en tres porciones, que repartió entre sus dueños. Tampoco fue eXacta la división. Sobraba una moneda, que el almojarife se guardó como retribución a su trabajo y habilidad. Es claro que ninguno de los marineros reclamó, pues cada uno estaba convencido de haber retirado su parte. Ahora bien: ¿cuántas eran las monedas? ¿Cuánto recibió cada marinero? 

 

Monedas en caja	la	Dividas entre:	Da:	Resta:	Monedas restantes
241		3	80	1	160	División hecha por el 1.er marinero. Dividiendo 241 por 3 da 80 y sobra 1
160		3	53	1	106	División hecha por el 2º marinero. Dividiendo 160 por 3 da 53 y sobra 1
106		3	35	1	70	División hecha por el 3.er marinero. Dividiendo 106 por 3 da 35 y sobra 1
70		3	23	1		Última división: dividiendo 70 por 3 da 23 y sobra 1

El “Hombre que calculaba”, notando que la historia narrada por él, el príncipe despertara gran interés entre los nobles presentes, creyó necesario dar la solución completa del problema, y así lo hizo:

- Las monedas eran, al principio, 241. El primer marinero las dividió en tres partes;tiró un “catil” al mar y se llevó un tercio de 240, o sea, 80 monedas, dejando 160. El segundo marinero halló, por lo tanto, 160 monedas; tiró una al mar y dividió las restantes (159) en tres partes. Tomó la tercera parte, o sea, 53, y dejó el resto, 106. El tercer marinero encontró en la caja 106 monedas, dividió ese resto en tres partes iguales, tirando al mar la moneda que sobraba. Retiró la tercera parte de 105, o sea, 35 monedas, dejando el resto, o sea 70.

El almojarife encontró 70 monedas, las dividió en tres partes iguales, tocando 23 monedas más a cada marinero. El reparto fue hecho, por lo tanto, de la manera siguiente:

Marinero Nº1	80+23	=	103
Marinero Nº2	53+23	=	76
Marinero Nº3	35+23	=	58
Almojarife		=	1
Tiradas al mar		=	3
Total		=	241

Al llegar al final de la solución¹⁰², y habiendo dejado de hablar Beremís, el príncipe, para demostrar su admiración por el ingenio del calculista, le ofreció como recompensa una pequeña medallita recubierta de rubíes.

- Esta joya -explicó sonriente el soberano hindú- fue grabada por un artista genial. En una de las caras aparece mi nombre entrelazado con una flor de loto; y la otra contiene algunos versos sobre el mar, escritos en lenguaje simbólico.

Beremís se mostró emocionado con el presente del príncipe y, tomando la medalla entre sus manos, la examinó con vivo interés.

-    Es raro -dijo al fin-, peor el artista que imaginó esta delicada obra de arte se equivocó, sin querer. No encuentro aquí, ninguna poesía sobre el mar. Solo leo pensamientos sobre el Saber y la Ciencia:

“El que procura instruirse es más amado por Dios que aquel que combate en una guerra santa.”

“Aquel que educa y proporciona instrucción a los ignorantes, es como un vivo entre los muertos.”

“Si pasara un día sin que aprendiera alguna cosa que me aproximase a Dios, que la aurora de ese día no sea bendecida.”

“Es un sacrilegio prohibir la Ciencia. Pedir a la Ciencia es ofrecer actos de adoración a Dios; enseñarla, es hacer caridad. La ciencia es la vida del Islam, la columna de la Fe.”

- Amigo mío -dijo el poeta Iezid-. Conozco todos esos pensamientos. Fueron dictados por Mahoma (¡con Él en la oración y en la gloria!) y se enseñan hoy en todas las escuelas. El sheik sonrió y concluyó:

-    A mi modo de ver, el artista que grabó esa medalla no engañó al príncipe. La ciencia, según todos dicen, es un mar inmenso y profundo. Por consiguiente, esos pensamientos, desde el punto de vista simbólico, son “versos sobre el mar”.